弹性力学试卷2011-答案

1华中科技大学土木工程与力学学院《弹性力学》考试卷（半开卷）2010～2011学年度第二学期成绩学号专业班级姓名一、判断题（正确的打√，错误的打×）（每小题2分，共10分）1.最大正应力作用面上的剪应力为零，最大剪应力作用面上的正应力也为零。(×)2.正交各向异性弹性体中应力主方向和应变主方向相重合。(√)3.()2222gzlxygxzgyzu,v,wEE2Ernnrnréù-++ëû=-=-=,其中ρg为单位自重，沿z轴负向。这一组位移分量可以作为弹性力学的解。(√)4.纵波和横波都是无旋波，而表面波是畸变波。(×)5.两个不同弹性常数的均匀各向同性球体在力的作用下相互接触，其接触面为圆形，接触面上分布的压力是均匀的。(×)二、填空题（每空1分，共10分）1.若引用Airy应力函数U求解平面问题，U需满足（4U0Ñ=）方程，该方程的物理意义代表了物体的（应变协调）条件，由222xyxy22UUUXx,Yy,yxxysst¶¶¶=-=-=-¶¶¶¶方程求出的应力分量需满足（应力边界）条件，在多连通物体时，还需补充（位移单值）条件才能求解。2.极端各向异性弹性体有(21)个独立的弹性常数，正交各向异性弹性体有(9)个独立的弹性常数，横观各向同性弹性体有（5）个独立的弹性常数，而（各向同性弹性体）只有2个独立的弹性常数。一二三四五六七分数1010201515151523.开尔文问题是指无限体内一点受集中力P作用的问题，布希涅斯克问题则是指（半空间体（不计体力）在其边界平面上受法向集中力作用的问题），而半空间体（不计体力）在其边界平面上受切向集中力作用的问题被称作（赛路提(Cerruti)问题）。三.简答题1.曲梁（F作用在上端部abr2+=处，a,bb-a）的受力情况如图1所示，写出全部边界条件（设梁固定端ab,r2qb+==处的位移及径向微分段的转角为零）。（10分）解答：()()()()rrarararrbrbrb0q0qqqstst======-==-④()()()ba0bra0ba0drFsindrFcosabrdrFsinM2qqqqqqsatasa=====-+=-òòò③固定端ab,r2qb+==处：()()()()()rab/2rab/2rab/2ruu0,u0,0rqbqbqbqq===+=+==+¶æö===ç÷¶èø③OOqqxxbbaaaa··rFM图1qbqaββyy32.简述弹性力学扭转问题位移解法的微分方程提法。（10分）解：求解位移函数()x,yj，使满足20inRdylxmincdvjjìÑ=ïí=-ïî③则：zxzyxyzxyGyGx0xyjjtatassstæö¶¶æö=-=+====ç÷ç÷¶¶èøèø③其中：zMGDa=pRDJxydxdyyxjjæö¶¶=+-ç÷¶¶èøòò②位移分量：()uzyvzxwx,yaaajì=-ï=íï=î②4四、如图2所示薄壁圆形管，半径为R，壁厚为t，沿b)管母线切一小的缝隙，试求两个薄壁管的抗扭刚度之比及最大剪应力之比。（15分）解：①闭口薄壁管：zz11MMGD2GAha==()zz222MMS2R4GAtt4GRpp==z3M2RGtp=抗扭刚度：3z11MGD2RGtpa==③最大剪应力：zzmax12minMM2A2Rttdp==③②开口薄壁管：zz2n33iii13M3MG2RtGabap===å抗扭刚度：3z22M2RGtGD3pa==③最大剪应力：zizzmax2n323iii13Mb3Mt3M2Rt2Rtabtpp====å③③两薄壁管的抗扭刚度之比：321322GD2RGt3R2RGtGDt3pp==①最大剪应力之比：z2max1zmax22Mt2Rt3M3R2Rttptp==②RRtta）b）图25五、如图3所示的楔形体的两侧面受均布切向力q作用，试求出该楔形体内的应力分量（不计体力，设应力函数为()2Urfq=）。（15分）解：应力函数需满足双调和方程22U0ÑÑ=，即22222211U0rrrrqæö¶¶¶++=ç÷¶¶¶èø①亦即：()()22222114ff0rrrrqqqæö¶¶¶¢¢éù+++=ç÷ëû¶¶¶èø()()42242dfdf140rddqqqqéùÞ+=êúëû①()fAcos2Bsin2CDqqqqÞ=+++①()2UrAcos2Bsin2CDqqq\=+++()()2r22222r21U1U2Acos2Bsin2CDrrrU2Acos2Bsin2CDr1U1U2Asin22Bcos2Crrrqqsqqqqsqqqtqqqq¶¶=+=--++¶¶¶==+++¶¶¶=-=--¶¶¶③边界条件：()()r0,qqqqaqast=±=±==④2Asin22Bcos2Cq2Asin22Bcos2CqAcos2Bsin2CD0Acos2Bsin2CD0aaaaaaaaaa--=---=+++=--+=ÞA0,D0qBsin22cos2qsin2Csin22cos2aaaaaaaa===-=--②Þrrsin2sin22qsin22cos2sin2sin22qsin22cos22cos2sin2qsin22cos2qqaqqasaaaaqqasaaaaqataaa+=---=--=--③xyOqqaa图36六、一端固定、另一端弹性支承的梁如图4所示，其跨度为l，抗弯刚度EJ为常数，承受均布载荷q作用，弹簧系数为k。试用位移变分方程（或最小势能原理）导出该梁以挠度w形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。（15分）解：1.位移变分方程为iiiiijijSXudXuddsttdtdSsdet+=òòò①2.应变能改变2222ll222001dwdwdwUEJdxEJdx2dxdxdxdddéùæöæö==êúç÷ç÷èøèøëûòò①外力总虚功()()llxlxlxl00qwdxFwqwdxkwwdddd===-=-òò①3.位移变分方程变为()22ll22xl00dwdwEJdxqwdxkwwdxdxddd=æö=-ç÷èøòò①对上式左端运用分部积分222ll22200l23l2300l234l23400dwdwdwdwEJdxEJddxdxdxdxdwdwdwdwEJEJdxdxdxdxdxdwdwdwdwEJwEJwdxdxdxdxdxdddddddæöéæöù=ç÷ç÷êúëèøûèøéùæöæö=-ç÷ç÷êúèøèøëûéùæö=-+ç÷êúèøëûòòòò③代回位移变分方程23232323x0xl4l40dwdwdwdwdwdwEJwEJkwEJwdxdxdxdxdxdxdwEJqwdx0dxddddd==éùéæöùæöæö--++-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøëûëèøûéù+-=êúëûò①zxlOq图474.由于变分wd的任意性，上式成立的条件为()442323x02323xldwEJq00xldxdwdwdww0dxdxdxdwdwdwEJkwEJw0dxdxdxdddd==-=££éùæö-=ç÷êúèøëûéæöùæö+-=ç÷ç÷êúèøëèøû③5.边界条件：左端为固定端()x0x0dww0,0dxdd==æö==ç÷èø第二式满足①右端为弹性支承()xlxldww0,0dxdd==æö¹¹ç÷èø欲使第三式成立，必须满足2323xlxldwdw0,kwEJ0dxdx==æöæö=-=ç÷ç÷èøèø①6.以挠度w形式表示的平衡微分方程和静力边界条件：()44dwEJq00xldx-=££2323xlxldwdw0,kwEJ0dxdx==æöæö=-=ç÷ç÷èøèø②8七、试证函数()23UAxyy=+（A0为已知常数）是应力函数，并画出图5所示三角形薄板各边上对应的法向面力（体力不计）。（15分）③解：将函数U代入双调和方程：22U0ÑÑ=满足所以，可作为应力函数。①应力分量为：xyxy6Ay2Ay2Axsst===-③边界条件：BC边：x0,l1,m0==-=X6Ay,Y0=-=②CD边：11xay,l,m22=-==[][]X2A3a4x,Y2Aa2x=-=-法向面力()FXlYm2A2a3xs=+=-③BD边：11xay,l,m22=+==-()()X2A4x3a,Y2A2xa=-=--法向面力()FXlYm2A3x2as=+=-③2a/3图5COyxBD6Aa6Aa4Aa4Aa2Aa2Aa图5CaOyxaaBD