线性回归中的相关系数

线性回归中的相关系数山东胡大波线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法．一、关于相关系数法统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当ix不全为零，yi也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：112222221111()()()()nniiiiiinnnniiiiiiiixxyyxynxyrxxyyxnxynyr就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）．说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；（2）另外注意r的大小，如果0.751r，，那么正相关很强；如果10.75r，，那么负相关很强；如果0.750.30r，或0.300.75r，，那么相关性一般；如果0.250.25r，，那么相关性较弱．下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线．二、典型例题剖析例1测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：父亲身高（x）60626465666768707274儿子身高（y）63.565.26665.566.967.167.468.370.170（1）对变量y与x进行相关性检验；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．解：（1）66.8x，67y，102144794iix，102144929.22iiy，4475.6xy，24462.24x，24489y，10144836.4iiixy，所以10121022211iiiniiiixynxyrxnxyny44836.4104475.6(4479444622.4)(44929.2244890)80.480.40.9882.046730.152，所以y与x之间具有线性相关关系．（2）设回归直线方程为yabx，则101102211010iiiiixyxybxx44836.4447560.46854479444622.4，670.468566.835.7042aybx．故所求的回归直线方程为0.468535.7042yx．（3）当73x英寸时，0.46857335.704269.9047y，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．例210名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩．（1）y与x是否具有相关关系；（2）如果y与x是相关关系，求回归直线方程．解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得101710iix，101723iiy，71x，72.3y，10151467iiixy．102150520iix，102152541iiy．1011010222211101010iiiiiiixyxyrxxyy22514677172.3100.78(505201071)(525411072.3)．由于0.78r，由0.780.75知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系．（2）y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为yabx，则1011022211051467107172.31.2250520107110iiiiixyxybxx，72.31.227114.32aybx．所以y关于x的回归直线方程为1.2214.32yx．点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．