2019届高考数学复习精品教学案专题04-三角函数和解三角形(学生版)

高中数学专题四：三角函数和解三角形1【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sintancosxxx.3.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-2,2)内的单调性.4.了解函数sin()yAx的物理意义；能画出sin()yAx的图象，了解,,A对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换【知识络构建】【重点知识整合】一、三角恒等变换与三角函数1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sincos,sincos,sincos三者中,知一可求二;高中数学专题四：三角函数和解三角形22.函数sin()yAx的问题:(1)“五点法”画图:分别令0x、2、、32、2，求出五个特殊点；(2)给出sin()yAx的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是,一般从“五点法”中取靠近y轴较近的已知点代入突破;二、解三角形1．正弦定理已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为三角形外接圆的半径)．2．余弦定理已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc，另外两个同样．3．面积公式已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的12；高中数学专题四：三角函数和解三角形3(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R(其中R为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r；(4)若p＝a＋b＋c2，则三角形的面积S＝))()((cpbpapp.【高频考点突破】考点一三角函数的概念、诱导公式1．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．对于形如2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号；对于形如π2±α，3π2±α的三角函数值，等于角α的余名三角函数值，前面加上一个将角α看成锐角时，原函数值的符号．例1、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝_______.【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.考点二三角函数的性质三角函数的单调区间：y＝sinx的递增区间是[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)，递减区间是[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)；y＝cosx的递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)．例2、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，3cosx)，函数f(x)＝a·b＋32.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．【变式探究】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且f(π2)f(π)，则f(x)的单调递增区间是()高中数学专题四：三角函数和解三角形4A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．(2)求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的单调区间常用换元法：将ωx＋φ作为一个整体，若求单调增区间，令ωx＋φ∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；若求单调减区间，则令ωx＋φ∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．值得注意的是，若ω0，则需要利用诱导公式将其转换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再用换元法求单调区间.例3、已知函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的一段图像经过点(0,1)，如图所示．(1)求f1(x)的表达式；(2)将函数f1(x)的图像向右平移π4个单位长度得到函数f2(x)的图像，求y＝f1(x)＋f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．高中数学专题四：三角函数和解三角形5【变式探究】已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)，y＝f(x)的部分图像如图，则f(π24)＝()A．2＋3B.3C.33D．2－3考点四三角变换及求值三角函数求值有以下类型：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．例4、已知函数f(x)＝2sin(13x－π6)，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65.求sin(α＋β)的值．【变式探究】已知：cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0βπ4απ2，则α＋β的值为________．考点五正、余弦定理的应用解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.高中数学专题四：三角函数和解三角形6(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.例5、△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0.(1)判断△ABC的形状；(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(－m＋n)＝14，求a，b，c.考点六解三角形与实际应用问题在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决．例6、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；高中数学专题四：三角函数和解三角形7(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【难点探究】难点一简单的三角恒等变换例1、(1)若0απ2，－π2β0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（α＋β2）＝()A.33B．－33C.539D．－69【点评】在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把π2＋2α变换成2π4＋α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝α－β2－α2－β等；在进行三角函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以便看出如何使用已知条件．难点二三角函数的图象例2(1)已知函数f(x)＝Atan(ωx+φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，则fπ24＝________.(2)要得到函数y＝cos（2x＋π3）的图象，只需将函数y＝12sin2x＋32cos2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π2个单位C．向右平移π3个单位D．向左平移π4个单位【点评】(1)根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周高中数学专题四：三角函数和解三角形8期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数，在本题中的函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是π|ω|，注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函数；(2)在进行三角函数的图象变换时，要把需要变换的两个函数化为同一种类型的函数，再根据两个函数解析式的差别确定变换方法．难点三三角函数的性质例3、已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)B.kπ，kπ＋π2(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π2，kπ(k∈Z)【规律方法】1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y＝sin2x＋π4的图象向左平移π12个单位时，得到的是函数y＝sin2x＋π12＋π4＝sin2x＋5π12的图象．3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．难点四正余弦定理的应用例4、(1)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝________.(2)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π【点评】解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理．正弦定理解决的是已知三角形两边和一边的对角、三角两内角和其中一边两类问题，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角、已知三角形三边的两类问题．在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素．本例的第二小题中的不等式看上去是角的正弦的一个不等式，实际上给出的是边的不等式，正弦定理在三角形的边角关系互化中起高中数学专题四：三角函数和解三角形9关键作用．