高等数学课件---导数与微分

导数与微分一、两个实例ts1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为0t则到的平均速度为v)()(0tftf0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tftf0tt221tgsso)(0tf)(tft自由落体运动tsx0limxyo)(xfyC2.曲线的切线斜率曲线NT0xM在M点处的切线x割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率tan)()(0xfxf0xx切线MT的斜率tanlimlim0xxk)()(0xfxf0xxxyx0lim两个问题的共性:tsx0limso0t)(0tf)(tft瞬时速度切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题xyx0lim二、导数的概念定义1.设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限为记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf即0xxy)(0xfxyx0lim则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数)(tfsso0t)(0tf)(tft在时刻的瞬时速度0t曲线)(:xfyC在M点处的切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx)(0tf)(0xf说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.)()(0xfxfy0xxx若上述极限不存在,在点不可导.0x若,lim0xyx也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意:)(0xf0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.在点的某个右邻域内2.左右导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作)(0xf即)(0xf(左)(左))0(x)0(x))((0xf0x定义2.设函数有定义,存在,定理函数在点且)(0xf存在)(0xf简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数)(bf与都存在,则称在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且3.导数的几何意义xyo)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为)(tan0xf若曲线过上升;若曲线过下降;xyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:)0)((0xfxyo0x三、可导与连续定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故0x所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:xyoxy在x=0处连续,但不可导.即*例3求函数y=c(c为常数)的导数.解因为y=c为常数,所以y=0,,0xy0==′0xyyx→lim这就是说:常数的导数等于零.即0y例如:若y=8,则.0)(c求函数)(xfy的导数y的步骤：（1）求增量：)()(xfxxfy,（2）算比值：xxfxxfxy)()(,（3）取极限：xyyx0lim.四、求导举例xyyx0lim解xxxxxsin)sin(lim0xxxxx2sin2cos2lim0xxxxxxcos22sin2coslim0(sinx)=cosx.(cosx)=sinx.***例4求函数y=sinx的导数.即同理可得1,2,3步合并解xyyx0limxaaxxxx0lim即(ex)=ex.特别地,当a=e时,有(ax)=axlna.xaaxxx1lim0aaxaxaxxxlnlnlim0例5求函数y=ax(a＞0,a≠1)的导数.xeaaxxx1limln0(当x→0时,1lnaxe与xlna是等价无穷小)1,2,3合并***例6求函数y=lnx(x(0,))的导数.xxfxxfxyyxx)()(limlim00解xxxxxln)ln(lim0xxxx1lnlim0xxxx0lim.1x即.1)(lnxx.ln1)(logaxxa同理可得1,2,3合并解（1）求增量：xxxxxxyaaaloglog)(logxxa1log,（2）算比值：xxaaxxxxxxxy1log11log,（3）取极限：xxaxxxxxxyxy1log1limlimdd00axxaln1elog1,即axxaln1)(log.特别地，当ea时，得自然对数的导数xx1)(ln.例7求对数函数)0,0,0(logxaaxya的导数.解(1)求增量：由二项式定理有nnxxxy)(nnnxxxnnxnx)()(!2)1(221,(2)算比值：121)(!2)1(nnnxxxnnnxxy,(3)取极限：12100d(1)limlim()d2!nnnxxyynnnxxxxxx1nnx,即1nnnxx.（n为正整数）一般地，对xy（是实数），也有1xx.这个公式在后面将给出证明.例如：xxx2121，2111xxx.例8求函数nxy（n为正整数）的导数.1.思考下列命题是否正确？如不正确举出反例.(1)若函数)(xfy在点0x处不可导，则)(xf在点0x一定不连续；(2)若曲线)(xfy处处有切线，则)(xfy必处处可导.2.若Aaxafxfax)()(lim（A为常数），试判断下列命题是否正确.（1）)(xf在点x=a处可导；（2）)(xf在点x=a处连续；（3）)()()()(axoaxAafxf.思考题：3.函数在某点处的导数区别:)(xf是函数,)(0xf是数值;联系:0)(xxxf)(0xf注意:有什么区别与联系?])([)(00xfxf？与导函数4.设存在,则.________)()(lim000hxfhxfh)(0xf小结1.导数的概念:2.可导与连续:3.求导举例:变化率模型导数的几何意义左，右导数导数的定义可导必定连续,连续不一定可导取极限算比值求增量4.已学过的导数公式.0)(c(sinx)=cosx.(cosx)=sinx.(ex)=ex.(ax)=axlna..1)(lnxx.ln1)(logaxxa1xx1nnnxx作业P602.3.6.7谢谢同学们一、函数的和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则四、初等函数的求导公式三、反函数的求导法则五、三个求导方法六、高阶导数定理1设函数）（xuu与）（xvv在点x处可导,则函数）（）（xvxu,）（）（xvxu,））（（）（）（0xvxvxu也在点x处可导,且有以下法则:(1)）（）（）（）（xvxuxvxu][;(2))()()()(])()([xvxuxvxuxvxu,特别地）（）（xuCxCu][(C为常数);(3)）（）（）（）（）（）（）（xxxuxxuxxu2)0)((xv,特别地,当Cxu）（(C为常数)时,有）（）（）（xvxvCxvC2第二节求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则下面我们给出法则（2）的证明，法则（1），（3）的证略．证令）（）（xvxuy,(1)求函数y的增量:给x以增量x,相应地函数）（xu,）（xv各有增量u与v,从而y有增量,][][vxuxxuvxvxxvxuxxvxuxxuxvxuxxvxxuy）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（(2)算比值:xuxuxxvxuxy）（）（,(3)取极限:由于）（xu与）（xv均在x处可导,所以）（），（xvxvxuxuxx00limlim.又,函数）（xv在x处可导,就必在x处连续,因此)()(lim0xvxxvx,从而根据和与乘积的极限运算法则有.limlimlimlim'0000）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxuxxvxuxyxxxx这就是说,）（）（xvxuy也在x处可导且有）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxu][.例1设7πsinln4cosxxxy,求y．解.4sin2cosln4coscos7πsinln4cosxxxxxxxxxxxxxy）（）（）（）（）（）（vuvuvu)(vuvu)()1()(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例2.求证2vvuvuvu证:xxxcossin)(tanx2cosxxcos)(sin)(cossinxxx2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx2vvCvClim0xxyxyx0limdd二、复合函数求导法则证:)(ufy在点u可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当时)故有)()(xufuy)(uf)0()(xxuxuufxy定理2如果函数()ux在点x处可导,而函数)(ufy对应的点u处可导,那么复合函数[()]yfx也在点x处可导,且有xuuyxydddddd或fx=fux.例如,xydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.解函数xysin可以看作由函数uysin与xu复合而成．因此xxxuxuy2cos21cos)()(sin.例3（1）求xysin的导数．xeytan)2(xueyutan,)2(xuxuyy'''xeu2secxex2tancos1解xy21)3(xuuy21,)3(xuxuyy''')2(1ux212xuuyxydddddd解.cscsin121.2cos1.2sin2cos)2(sec2tan12tan2tan1)2tan(ln2'2xxxxxxxxxxy例4求函数2tanlnxy的导数．对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中间变量,而可以采用下列例题的方式来计算．例5.求下列导数:解:(1))()(lnxex)ln(xx1x)()(lnxxxex)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2