必修2-3.1直线的倾斜角与斜率

2019/10/171欢迎加微信交流:pzyandong思考!一条直线的位置由哪些条件确定呢？在平面直角坐标系里点用坐标表示:yxo),(yxpyxo直线如何表示呢？2019/10/172欢迎加微信交流:pzyandong直线的位置我们知道，两点确定一条直线。yxo过一点O的直线可以作无数条，可以用直线与x轴的夹角描述它们的倾斜程度一点能确定一条直线的位置吗？yxo2019/10/173欢迎加微信交流:pzyandong一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angleofinclination）yxola注意：(1)直线向上方向；(2)x轴的正方向。2019/10/174欢迎加微信交流:pzyandong下列四图中，表示直线的倾斜角的是()练习：ayxoAyxoaBayxoCyxaoDA2019/10/175欢迎加微信交流:pzyandong2、直线倾斜角的范围：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为00,因此，直线l的倾斜角的取值范围为：1800ayxo零度角ayxo锐角yxo直角yxoa钝角按倾斜角去分类，直线可分几类？2019/10/176欢迎加微信交流:pzyandong3、直线倾斜角的意义体现了直线对轴正方向的倾斜程度在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。倾斜角倾斜程度xyo倾斜角相同能确定一条直线吗？相同倾斜角可作无数互相平行的直线2019/10/177欢迎加微信交流:pzyandong4、如何才能确定直线位置？yxo一点+倾斜角确定一条直线过一点且倾斜角为α能不能确定一条直线？（两者缺一不可）能2019/10/178欢迎加微信交流:pzyandong二、直线的的斜率思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即升高量前进量ABCD设直线的倾斜程度为k前进量升高量坡度＝tan||||ABBCkACtan||||ABBDkAD2019/10/179欢迎加微信交流:pzyandong1、直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。用小写字母k表示，即：aktan例如：30a3330tank45a145tank60a360tank2019/10/1710欢迎加微信交流:pzyandong?90ka时当不存在即不存在kaa)(tan90思考：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角是多少？xyo2019/10/1711欢迎加微信交流:pzyandong3、探究：由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxPxyoQPQPQPPk1212tantan1212xxyy0锐角如图，当α为锐角时,α=∠P2P1Q。且x1x2，y1y2，在Rt△P2P1Q2019/10/1712欢迎加微信交流:pzyandongxyo),(111yxP),(222yxP如图，当α为钝角时,α=1800－β,且x1x2，y1y2QPQP12tan2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk0钝角在Rt△P2QP1中tanα=tan(1800－θ)=－tanθ2019/10/1713欢迎加微信交流:pzyandongxyo(3)),(12yxQ),(111yxP),(222yxP思考？yox(4)),(12yxQ),(111yxP),(222yxP1、当的位置对调时，值又如何呢？21ppk2019/10/1714欢迎加微信交流:pzyandong思考？2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00tan0k答：成立，因为分子为0，分母不为0，k=02019/10/1715欢迎加微信交流:pzyandong4、直线的斜率公式：综上所述，我们得到经过两点),,(111yxP)(21xx),(222yxP的直线斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或2P2P1P1P2019/10/1716欢迎加微信交流:pzyandong1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk思考？不存在不存在k)(90tan,90答：不成立，因为分母为0。2、已知直线上两点、，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？),(21aaA),(21bbB1122ababkAB1122babakBA答：与A、B两点的顺序无关。2019/10/1717欢迎加微信交流:pzyandong例1、如图，已知A(4,2)、B(–4,2)、C(0,–1)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？yx2019/10/1718欢迎加微信交流:pzyandong例题分析例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2和–3的直线。4321,,llll及yx2019/10/1719欢迎加微信交流:pzyandong三、小结：1、直线的倾斜角定义及其范围：18002、直线的斜率定义：aktan3、斜率k与倾斜角之间的关系：0tan18090)(tan900tan90000tan0akakaaakaka不存在不存在4、斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或)90(a2019/10/1720欢迎加微信交流:pzyandong作业：P98A组1,2,3,4,5B组5,62019/10/1721欢迎加微信交流:pzyandong•1．倾斜角与斜率•(1)倾斜角与斜率的概念.倾斜角斜率前提条件直线l与x轴_____倾斜角不是90°定义取_____作为基准，x轴_____与直线l_____方向之间所成的角直线l倾斜角的________表示或记法αk＝tanα相交x轴正向向上正切值2019/10/1722欢迎加微信交流:pzyandong•(2)倾斜角与斜率的对应关系.•由上表可知直线l的倾斜角α的取值范围是____________，斜率k的取值范围是_____________．图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝_____90°＜α＜180°斜率(范围)__________斜率不存在_____90°k＝0k＞0k＜0[0°，180°)(－∞，＋∞)2019/10/1723欢迎加微信交流:pzyandong1.如图所示，直线l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．不存在•答案：B2．过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝_______(x1≠x2)．y2－y1x2－x12019/10/1724欢迎加微信交流:pzyandong•已知直线l的倾斜角α＝60°，则其斜率k＝________.已知点P1(3,5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k等于()A．2B．1C.12D．不存在2019/10/1725欢迎加微信交流:pzyandong•判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．•1．倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．()•2．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()•3．一个倾斜角α不能确定一条直线．()•4．斜率公式与两点的顺序无关．()•答案：1.×2.×3.√4.√2019/10/1726欢迎加微信交流:pzyandong•已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．•直线的倾斜角2019/10/1727欢迎加微信交流:pzyandong•求直线的倾斜角的方法及两点注意•(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．•(2)两点注意：•①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.•②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α180°.2019/10/1728欢迎加微信交流:pzyandong•1．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．2019/10/1729欢迎加微信交流:pzyandong(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________.(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．•直线的斜率2019/10/1730欢迎加微信交流:pzyandong•求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法•(1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，其斜率不存在；若不相等，可用公式来求．•(2)α＝0°⇔k＝0；0°α90°⇔k0；90°α180°⇔k0；α＝90°⇔斜率不存在；若求α的具体值，可用公式k＝tanα求解．2019/10/1731欢迎加微信交流:pzyandong2．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．2019/10/1732欢迎加微信交流:pzyandong•直线斜率的应用已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值．2019/10/1733欢迎加微信交流:pzyandong根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y2－y1x2－x1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．2019/10/1734欢迎加微信交流:pzyandong3．已知实数x，y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3x＋2的最大值和最小值．2019/10/1735欢迎加微信交流:pzyandong1．求直线倾斜角的方法：定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°α90°，α＝90°，90°α180°.2019/10/1736欢迎加微信交流:pzyandong•2．直线的斜率k为倾斜角α的正切值，即k＝tanα当0°≤α90°时，k≥0，且k越大，直线的倾斜程度越大；当α＝90°时，k不存在；当90°α180°时，k0，且k越大，直线的倾斜度越小．•3．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解.2019/10/1737欢迎加微信交流:pzyandong例2如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.2BCPABCDPABCD2019/10/1738欢迎加微信交流:pzyandongAA1BB1C1ECDABCMA′2019/10/1739欢迎加微信交流:pzyandongBADCPE2019/10/1740欢迎加微信交流:pzyandong