CH12 第二节 到达间隔的分布和服务时间的

第二节到达间隔的分布和服务时间的分布2.1经验分布例1（P307）例2（P308）2.2泊松流设)(tN：),0[t到达的顾客数),(21ttPn：))(,[1221tttt内有)0(n个顾客到达的概率，即)0,())()((),(121221nttntNtNPttPn当),(21ttPn满足下列三个条件时称顾客的到达为泊松流。（1）在不重复的时间区间内顾客到达数是相互独立的；（2）对充分小的),[,tttt内有一个顾客到达的概率与t无关，而与区间t成正比，即)(),(1tottttP（12-2）其中，当0t时，)(to是比t更高阶的无穷小。0是常数，它表示单位时间内有一个顾客到达的概率，称为概率强度（3）对于充分小的),[,tttt内有2个或2个以上的顾客到达的概率极小，以至可以忽略，即)(),()2)()((2totttPtNttNPnn（12-3）假设顾客到达是泊松流，下求)(tN的分布)()(),(),(),(),()0)()((10210totottttPtttPtttPtttPtNttNPnn)(1)0)()((),(0tottNttNPtttP（12-4）)(tN)(tP)(0tP)(1tP)(tPn01n下通过建立)(tPn的微分方程来求它：个顾客内到达，区间ntt)0[=个顾客内到达，个顾客内到达，ktttkntnk)[)()0[0)412(),()()[)()0[),0([),0()(00nkkknnknntttPtPktttPkntPnttPttPttP个顾客内到达，个顾客内到达，个顾客）内到达表12-7区间),0[t),[ttt),0[tt情况个数概率个数概率个数概率（A）n)(tPn0)(1totn))(1)((tottPn（B）1n)(1tPn1)(totn))()((1tottPn2n)(2tPn2n3n)(3tPn3n（C）0)(0tPn)(ton)(to由表12-7和)412(可得：ttotPtPttPttPtotottPtottPttPnnnnnnn)()()()()()())()(())(1)(()(11令0t，得下列方程，并注意初始条件，则有0)0(1)()()(1nnnnPntPtPdttdP（12-5）当0n时，没有（B）、（C）两种情况，所以有1)0()()(000PtPdttdP（12-6）解（12-5）和（12-6）可得,2,1,0,0,!)()(ntenttPtnn（12-7）0)()]([nnttnPtNE；ttNVar)]([（12-8）)]1([NE—单位时间内到达的顾客平均数。2.3负指数分布其密度函数是000)(ttetftT其分布函数是0001)(ttetFt1)(TE，1)()(,1)(2TVarTTVar定理：输入过程是强度为的泊松流顾客相继到达的时间间隔nTTT,,21独立同分布，且1T是均值为（/1）的负指数分布。由上定理可得对一个顾客流是否为泊松流的一个检验方法：（1）对一个顾客流，首先确定一个较大的数n，然后观察并记录顾客相继到达系统的时刻n21；（2）计算)21)1(1()1(1211njjnnnv；（3）对于给定的显著性水平，由)1,0(N查双侧百分位点2/Z，若),(2/2/ZZv内则在水平下接受0H，即认为所观察的顾客流为泊松流，否则，拒绝0H。例：某工厂有大批同类机床，机床发生故障可视为顾客的到达，检验该顾客流是否为泊松流。取6n，并记录到故障相继发生时刻分别为：194，209，250，279，312，493（小时）解：取05.0，查正态分布表得2/Z=1.96，计算当6n时，)21)1(1()1(1211njjnnnv=0.036。由于)96.1,96.1(v，故该故障流可认为是泊松流。假设各个顾客的服务时间n,,21独立同分布，都为负指数分布，即分布函数，密度函数分别为：tvetF1)(，0)(tetft（12-12）其中表示单位时间内服务完的顾客数，称为服务率。2.4爱尔朗分布设n,,21独立同为负指数分布，且kEi/1)(，则kT21的密度函数是0,)!1()()(1tekktktbktkk（12-13）称T服从k阶爱尔朗分布，得1)(TE，21)(kTVar。例如串联的k个服务台，每台服务时间独立，服从相同的负指数分布（参数为k），那么一个顾客走完这k个服务台总共需要的服务时间就服从上述的k阶爱尔朗分布。