08建筑与几何学(三)(新第八讲)_981005573

《建筑数学》第八讲拓扑几何是与平面几何、立体几何等其他类型几何学研究截然不同的几何门类。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。而拓扑几何研究的过程却并不用知道棱长及定量关系、不用计算面积、体积，也没有复杂的计算公式，事实上，拓扑几何对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。它思考问题的基本出发点是:仅需考虑点和线的个数，以及相互顺序关系。在拓扑学中没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可改变，因此，拓扑几何也叫橡皮几何，本课主要内容包括橡皮几何与拓扑变换、莫比乌斯带、以及与拓扑理念相关的建筑设计案例等。橡皮几何与拓扑变换橡皮几何、拓扑同构、拓扑变换以色列的一位城市规划学者在清华建筑学院做讲座，说到老北京的街道都是南北正交，而中东的城市街道弯曲。两者的街道形态在拓扑上“同构”的，每一个交叉口都是两条街道相交。一个几何图形任意“拉扯”（就像画在橡皮上），只要不发生割裂和粘接，可做任意变形，称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相同，则称这两个图形是“拓扑同构”。拓扑几何——研究几何图形在一对一连续变换中不变的性质。不考虑几何图形的尺寸、面积、体积等度量性质和具体形状。北大方正的王选就是研究汉字的拓扑结构，找到了表达和识别汉字的一种优化方法，发明了激光照排系统。上述圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外”的区分不变，边线上点的顺序不变。上述四个图形不同构：封闭曲线，开口曲线，有一个三叉点的开口曲线，有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线在拓扑变换中。端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同，前者与球同构，后者与轮胎同构。球和立方体同构，与轮胎不同构。放射形街道方格形街道上述两张图片是否可以通过拓扑变换互相转化？在拓扑学中，两个流形，如果可以通过弯曲、延展、变形等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是拓扑同胚的（简称同胚）。如：圆和正方形是同胚的，而球面和环面就不是同胚的。???•上堂课曾提到，对于柏拉图多面体有:V：顶点数；F：面数；E：棱边数•欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个闭的多面体，那么这里h是环柄个数（也叫亏格数）•2(1-h)称为欧拉数右图上下对应图形为拓扑同胚造型，自左到右各组造型的环柄数分别为1,2,3头颅拓扑比较，看动物的进化。封闭围线构成一个封闭图形，如何判别“里”与“外”呢？在图形的“外”部确定一点，这容易判定，只要它离图形足够远。从这一点出发到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“里”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“外”。当然首选的出发点在“里”，从此点到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“外”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“里”。判定方法也可简述为：从外到里，从里到外的路径与边界交奇数次；从外到外，从里到里的路径与边界交偶数次。路径可以是曲折的，也可以穿过边界进进出出。对于建筑而言，房屋就是封闭图形（体），人流流线就是“路径”，墙是“边界”，墙上的门就是“交点”。上图a.b.c.d四点在曲线内部还是外部？解上述不等式得：i）n=3时，m=3、4、5ii）n=4时，m=3iii)n=5时，m=3若以表示这个正多面体，则（3，3）——正四面体、（3、4）——正八面体、（3、5）——正二十面体（4、3）——正六面体、（5、3）——正十二面体平行投影锥形投影拓扑变换如果用拓扑几何方法证明，首先可以把立体几何问题转化为平面几何问题正4-面体正8-面体正6-面体正12-面体正20-面体拓扑证明：顶点数V、棱数E和面数F的性质都可以由每个面上的边（棱）的数目p和每个顶点出发的棱的数目q给出。由于每条棱有两个顶点又在两个面上，因此：另一个关系是欧拉公式:综合上面等式，得到：于是由于，因此：注意到p和q必须大于等于3，我们可以容易地找到所有五组(p,q)：高校教材《中国建筑史》第五版P229“拓扑同构图”高校教材《中国建筑史》第五版P228“四、同构关系与自然秩序”门厅佣人房厨房餐厅客厅书房卧室卧室卧室WCWCWC功能分析图莱特设计的三个住宅的平面是拓扑同构的。参见《建筑设计与人文科学》学生设计课程过程所做的功能模式分析中的拓扑变换.莫比乌斯带与克莱因瓶莫比乌斯带、克莱因瓶莫比乌斯（AugustusF.Möbius，1790－1868）德国数学家、天文学家将一个长方形纸条的一端固定，另一端扭转半周后，把两端粘合在一起，得到的曲面就是莫比乌斯带。用一种颜色，在纸圈上面涂抹，画笔没有越过纸边，却把整个纸圈涂抹成一种颜色，不留下任何空白。或，一个蚂蚁不越出纸边，就可以爬过纸面所有表面。莫比乌斯带MöbiusStrip莫比乌斯带MöbiusStrip试验：在裁好的一条纸带正中间画两条线（三等分带子宽度，正反两面都画上线），粘成莫比乌斯带，然后沿线剪开，结果又会怎样？沿着线剪的时候，要不要剪完一条线，再剪另一条线？特性总结：（1）莫比乌斯带只存在一个面。（2）如果沿着莫比乌斯带的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯带空间大一倍的、具有正反两个面的环。（3）如果再沿着环的中间剪开，将会形成两个具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的。马清运设计的莫比乌斯造型雕塑扎哈设计的莫比乌斯造型雕塑莫比乌斯的其他应用美国著名轮胎公司百路驰把传送带制成莫比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了近一倍。针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成莫比乌斯圈。还有莫比乌斯电阻——不会产生电磁感应现象、莫比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。厂商PowerArchitecture的商标就是一条莫比乌斯圈，还有Aramov公司的商标，甚至垃圾回收标志也是由莫比乌斯圈变化而来。莫比乌斯带的建筑造型概念北京设计院：北京凤凰传媒中心扭结——三叶结旋转三个半圈的莫比乌斯带再剪开后会形成一个三叶结。三叶结形态的应用埃舍尔创作的三叶结国家科技馆的三叶结雕塑扭结——三叶结斯图加特梅塞德斯奔驰-博物馆，UNStudio，2000斯图加特梅塞德斯奔驰-博物馆，UNStudio，2000三叶结形态的应用斯图加特梅塞德斯奔驰-博物馆，UNStudio，2000克莱因瓶KleinBottle三维空间中的克莱因瓶，没有“内部”和“外部”之分。由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构是，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。这个物体没有“边”，它的表面不会终结。一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去。克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，得到两个莫比乌斯带。克莱因瓶KleinBottle把克莱因瓶投影到平面上，是和中国阴阳图同构的。复杂的克莱因瓶克莱因瓶KleinBottleTheLawson-Kleinbottle克莱因瓶KleinBottleThe8-Kleinbottle克莱因瓶KleinBottle克莱因瓶KleinBottle七桥、四色问题与突变理论七桥问题与一笔画判定、四色问题与地图染色突变理论与拓扑模型哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡城，城中有一座岛，普雷格尔河的两条支流环绕其旁，并将整个城市分成北区、东区、南区和岛区4个区域，全城共有7座桥将4个城区连接起来，如左图所示。问题是，一个人是否能在一次步行中穿越全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次。哥尼斯堡七桥问题1736年，当人们将这一问题向欧拉请教时，欧拉用A、B、C、D表示4个城区，用7条线表示7座桥，将哥尼斯堡七桥问题抽象为一个图的模型，如右图所示，求经过图中每条边一次且仅一次的回路（欧拉回路），欧拉论证了在哥尼斯堡七桥问题中，这样的回路不存在。拓扑同构下减少地下管线的交叉。上图：水、气、电供2个建筑，下图供3个建筑。哥尼斯堡七桥问题的应用哥尼斯堡七桥问题后来欧拉将这一问题进行了一般化处理：对于任意多的节点和任意多的连线，给出了是否存在欧拉回路的判定规则：（1）如果连接奇数条线的节点多于两个，则不存在欧拉回路；（2）如果连接奇数条线的节点只有两个，可以从其中之一出发，到另一节点结束，找到欧拉回路；（3）如果没有一个节点连接奇数条线，则无论从哪里出发，都能找到欧拉回路。一个线状图能一笔画的充分必要条件是：没有奇点或者只有两个奇点。一笔画判定一笔画判定一笔画判定1852年，英国的一个大学生格思里（FrancisGuthrie）在一家科研单位搞地图着色时，发现了一种有趣的现象：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”——四色定理。此后一百多年，四色问题仍未解决。1969年，赫切（HeinrichHeesch）发表了一个用计算机解决此问题的方法。直到1976年，美国伊利诺斯大学的阿佩尔(Appel)和哈肯(Haken)在电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，完成了四色定理的证明，轰动了世界。四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证。最终，人们必须对电脑编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。主要是因为此证明缺乏数学应有的规范，以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”四色定理虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色着色，但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的。四色定理两色填充条件——单线轮廓三色填充的一般情况四色填充简化模型突变论catastrophetheory在自然界和人类社会活动中，除了渐变的和连续光滑的变化现象外，还存在着大量的突然变化的现象，如水的沸腾、地层的断裂，火山的喷发、桥梁的崩塌、细胞的分裂、生物的变异、人的休克、情绪的波动、战争、市场变化、经济危机等等。突变论用形象而精确的数学模型（拓扑模型）来描述和预测事物的连续性中断的突变过程。突变论是20世纪60年代末法国数学家托姆提出来的。1967年托姆发表《形态发生动力学》一文，阐述突变论的基本思想，1968年发表《生物学中的拓扑模型》，用拓扑模型的形式表述了生物细胞分裂中的各种情况，为突变论奠定了基础。突变论catastrophetheory更为形象地解释这一理论：假想有一只玻璃瓶放在桌面上，它处在一个稳定的状态，没有任何变化，此为稳定平衡（StableEquilibrium），用手指轻推瓶颈，不要太用力。这时变化产生，玻璃瓶晃动起来，它在通过一种连续性的方式来吸收变化，此为不稳定平衡（UnstableEquilibrium）。如果停止推力，玻璃瓶将恢复到它的理想稳定状态。然而，如果继续用力推下去，在推力达到一定程度的时候，玻璃瓶便会倒下，由此又进入了一种新的稳定平衡状态。玻璃瓶的状态在这一瞬间就发生了突变，一个非连续性的变化就这样产生了：在玻璃瓶下跌的过程中，没有任何可能的稳定中间状态，直到它完全倒伏在桌面上为止。再比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来，这种结构不稳定性就是突变。托姆详细研究了各种突变现象以后，用数学拓扑模型进行了描述和分类。他证明并得出结论，在控制空间不超过四维的情况下，尽管突变现象形形色色，但总可以归纳为：折叠、尖点、燕尾、蝴蝶、椭圆型脐点、双曲型脐点、抛物型脐点等七种基本类型，其中每一种都有其基本特征。这样，他在奇点理论的基础上