修订版-线性代数习题三答案

1第三章线性方程组一、温习巩固1.求解齐次线性方程组05105036302432143214321xxxxxxxxxxxx解：化系数矩阵为行最简式000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于023421xxxx令2412,kxkx，可求得原方程的解为1001001221kkx，其中21,kk为任意常数。2.求解非齐次线性方程组8311102322421321321xxxxxxxx解：把增广矩阵),(bA化为阶梯形6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换rrbA因此3),(2)(bARAR，所以原方程组无解。3.设)1,2,1,3(),1,1,2,3(。求向量，使32。解：31,0,35,3)2(314.求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),TTT4(1,1,2,0),TT)6,5,1,2(5的秩和一个极大线性无关组。解：将51,作为列向量构成矩阵，做初等行变换24400000000101102130124220101103033021301601424527121103121301A所以向量组的秩为3，421,,是一个极大线性无关组。二、练习提高⒈判断题⑴初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。(√)⑵设A为nm矩阵，0Ax是非齐次线性方程组bAx的导出组，则（a）若0Ax仅有零解，则bAx有唯一解。()（b）若0Ax有非零解，则bAx有无穷多解。()（c）若bAx有无穷多解，则0Ax有非零解。(√)⑶设A为n阶矩阵，是n维列向量，若)(0ARART，则线性方程组00yxAT必有非零解。(√)⑷对矩阵EA施行若干次初等变换，当A变为E时，相应的E变为1A。()⑸设向量组321,,线性无关，1可由321,,线性表示，而向量2不能由321,,线性表示，则对于任意常数k，必有321,,，21k线性相关。()⑹设n维列向量组s,,,21线性相关，A是nm矩阵，则sAAA,,,21线性相关。(√)⑺若向量组B能由向量组A线性表示，B和A的秩分别为BR和AR，则ABRR。()⑻设A为nm矩阵，nmrAR)(，则A的1r阶子式不能为0。()⑼设n元齐次线性方程组的一个基础解系为4321,,,，则321211,,,4321仍为该齐次线性方程组的基础解系。(√)⑽集合},0),,,({2121RxxxxxxxxVinn是一个向量空间。()⒉填空题⑴齐次线性方程组01334XA有非零解的充要条件是__3)(AR_。3⑵若线性方程组414343232121axxaxxaxxaxx有解，则常数4321,,,aaaa应满足的条件是04321aaaa。⑶设三阶矩阵403212221A，三维列向量Ta)1,1,(，已知A与线性相关，则a1。⑷若),,0(2kk能由)1,1,1(),1,1,1(),1,1,1(321kkk唯一线性表示，则k满足条件0k且3k。⑸设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为1n，则线性方程组0Ax的通解为111k。⑹由向量组TTTT)3,2,6,2(,)7,1,1,5(,)4,1,1,2(,)1,1,3,1(4321生成的向量空间的维数为3。⒊计算题⑴取何值时，方程组3213213211xxxxxxxxx有唯一解，无解或有无穷多解？在有无穷多解时求解。解：对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得132131322222111111111111111111011001100111001rrrrrrrrBAb所以当0,1时，()()3RARB线性方程组有唯一解。当0时，()23()RARB线性方程组无解。4当1时，()()23RARB线性方程组有无穷多解。若1，111111010020001000200000rrBAb，解为12131110;00xxcx若1，111110110200010000000000rrBAb，解为1223110010xxcx。⑵已知321,,线性无关，若13322123,2,2a线性相关，求a的值。解：由题意知存在不全为0的321,,kkk，使得0)23()2()2(133322211kakk，整理得0)3()22()2(332221131kakkkkk因为321,,线性无关，从而有齐次线性方程组0302202322131kakkkkk由321,,kkk不全为0知方程组有非零解，则系数行列式必为023a⑶设向量t,,,21是齐次方程组0Ax的一个基础解系，向量不是方程组0Ax的解，即0A。试证明：向量组t,,,,21线性无关。解：设有一组数tkkk,,,1，使得0)()(11ttkkk整理该式得0)(111tttkkkkk①用A左乘上式两边，注意0iA，故有0)(1Akkkt5因为0A01tkkk②将②代回①式，得到011ttkk，因为t,,1线性无关，故必有01tkk，再由②式，可得01tkkk⑷已知向量组TTTba)0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321与向量组T)3,2,1(1，,)1,0,3(2TT)7,6,9(3具有相同的秩，且3可由321,,线性表示，求ba,的值。解：对矩阵321,,做初等行变换000210931713602931，所以2,,321R，且21,是一个极大无关组又因为321,,R321,,R，所以baba300111210另一方面，3可由321,,线性表示，所以3可由21,线性表示，即5001310231bb⑸设4元齐次线性方程组（Ⅰ）为004221xxxx，又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为TTkk)1,2,2,1()0,1,1,0(21。求：①方程组（Ⅰ）的基础解系；②方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有则求出所有的非零公共解。①Ⅰ的系数矩阵为10100011A，2)(AR故Ⅰ的基础解系含有224个解向量，可取为)0,1,0,0(和)1,0,1,1(②Ⅱ的通解为2421321221,2,2,kxkkxkkxkx，代入Ⅰ可得0202221212kkkkkk21kk6所以当021kk时，Ⅰ与Ⅱ有非零公共解，非零公共解为)1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(121kkk⑹设有向量组（Ⅰ）：TTTa)2,1,1(,)3,1,1(,)2,0,1(321和向量组（Ⅱ）：TTTaaa)4,1,2(,)6,1,2(,)3,2,1(321。试问：当a为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价？当a为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？解：对,构成的矩阵做初等行变换，463232112110221111),,,,,(321321aaaa111100112110221111aaaa所以，①当1a时，3),,(321R另外，06463112221,,321aaa，所以3),,(321R故3),,,,,(321321R),,(321R),,(321R，向量组等价②当1a时，200021101111),,,(1321，所以),,(321R),,,(1321R，即1不能由321,,线性表示，向量组不等价。⑺设线性方程组040203221321321xaxxaxxxxxx与方程12321axxx有公共解，求a的值及所有公共解。方程组和方程的公共解即下述联力方程组的解12040203213221321321axxxxaxxaxxxxxx对该方程组的增广矩阵做初等行变换，得到7Baaaaaa)2)(1(000110010101101，因方程组有解，故210)2)(1(aaaa或当1a时，0000000000100101B，因此公共解为101k，k为任意常数。当2a时，0000110010101101B，因此公共解为110。三、思考与深化如果可以被向量r,,,21线性表出，证明表示法唯一的充分必要条件是r,,,21线性无关。证明：略。