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【知识点梳理】1、轴对称图形:一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。2、轴对称:两个图形沿一条直线对折,其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:(1)区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。(2)联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。1.轴对称的性质:(1)成轴对称的两个图形全等。(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。(3)对应点到对称轴的距离相等。(4)对应点的连线互相平行。1)线段的垂直平分线:(1)定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。如图2,∵CA=CB,直线m⊥AB于C,∴直线m是线段AB的垂直平分线。mCABD'DC'B'A'KJIH图1图2(2)性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。如图3,∵CA=CB,直线m⊥AB于C,点P是直线m上的点。∴PA=PB。(3)判定。与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。如图3,∵PA=PB,直线m是线段AB的垂直平分线,∴点P在直线m上。6、等腰三角形:(1)定义。有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角。腰与底的夹角叫做底角。说明:顶角=180°-2底角底角=顶角顶角21-902180可见,底角只能是锐角。(2)性质。等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是“底边的垂直平分线”,只有一条。等边对等角。如图5,在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C。三线合一。mCABP图3底边底角底角顶角腰腰DCBA图4(3)判定。有两条边相等的三角形是等腰三角形。如图5,在△ABC中,∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。如图5,在△ABC中∵∠B=∠C∴△ABC是等腰三角形。7、等边三角形:(1)定义。三条边都相等的三角形,叫做等边三角形。说明:等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形,因此,等边三角形是特殊的等腰三角形。(2)性质。等边三角形是轴对称图形,其对称轴是“三边的垂直平分线”,有三条。三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。等边三角形的三个内角都等于60°。如图6,在△ABC中∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°。(3)判定。三条边都相等的三角形是等边三角形。如图6,在△ABC中∵AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形。三个内角都相等的三角形是等边三角形。如图6,在△ABC中∵∠A=∠B=∠C图6图5ABC∴△ABC是等边三角形。有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。如图6,在△ABC中∵AB=AC(或AB=BC,AC=BC)∠A=60°(∠B=60°,∠C=60°)∴△ABC是等边三角形。(4)重要结论。在Rt△中,30°角所对直角边等于斜边的一半。如图7,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°∴BC=21AB或AB=2BC8、平面直角坐标系中的轴对称:(1)),(),(baxba横不变,纵反向轴对称关于(2)),(),(bayba横反向,纵不变轴对称关于说明:要作出一个图形关于坐标轴(或直线)成轴对称的图形,只需根据作出各顶点的对称点,再顺次连结各对称点。对称点的作法见11(1)。9、对称轴的画法:在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中,连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。注意:有的轴对称图形只有一条对称轴,有的不止一条,要画出所有的对称轴。成轴对称的两个图形只有一条对称轴。10、常见的轴对称图形:(1)英文字母。ABDEHIKMOTUVWXY图7(2)中文。日,目,木,土,十,士,中,一,二,(3)三,六,米,山,甲,由,田,天,又,只,支,(4)圭,凹,凸,出,兰,合,全,仝,人,关,甘,等等。(5)数字。038(6)图形。【有关考点】考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识⑴轴对称图形:如果_____个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够________,那么这个图形叫轴对称图形,这条直线叫做____________。⑵轴对称:对于____个图形,如果沿着一条直线对折后,它们能完全重合,那么称这两个图形成________,这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________【典例】1.下列几何图形中,○1线段○2角○3直角三角形○4半圆,其中一定是轴对称图形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.图9-19中,轴对称图形的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个3.正n边形有___________条对称轴,圆有_____________条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样(2)经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点.(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴______________.[关于坐标轴对称]点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)[关于原点对称]点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y)[关于坐标轴夹角平分线对称]点P(x,y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是(y,x)点P(x,y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是(-y,-x)[关于平行于坐标轴的直线对称]点P(x,y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x,y);点P(x,y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x,2n-y);考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形图(2)QCABEFPEDCBA【典例】1、如图,Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP、DP,则AP+DP的最小值是2、已知等边ABC,E在BC的延长线上,CF平分∠DCE,P为射线BC上一点,Q为CF上一点,连接AP、PQ.若AP=PQ,求证∠APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质⑴线段是轴对称图形,它的对称轴是__________________⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等归类回忆角平分线的性质⑴角是轴对称图形,其对称轴是_______________⑵角平分线上的点到______________________________相等【典例】1、如图,△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数。DACBP第1题图2、如图,△ABC中,AB=AC,PB=PC,连AP并延长交BC于D,求证:AD垂直平分BC3、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则EBC的周长为()A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米4、如图,∠BAC=30°,P是∠BAC平分线上一点,PM∥AC,PD⊥AC,PD=28,则AM=5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于D.过C点作CG⊥AB于G,交AD于E.过D点作DF⊥AB于F.下列结论:①∠CED=∠CDE;②AECS︰ACSAEG︰AG;③∠ADF=2∠ECD;④DFBCEDSS;⑤CE=DF.其中正确结论的序号是()A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤【课后练习】一、选择题BDCAPCEBDAFEDCBAG1.下列命题中:①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形;②等腰三角形的对称轴是底边上的中线;③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线;④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有()个A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列图形中:①平行四边形;②有一个角是30°的直角三角形;③长方形;④等腰三角形.其中是轴对称图形有()个A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,P1与P关于OA对称,P2与P关于OB对称,则△P1OP2是()A.含30°角的直角三角形;B.顶角是30的等腰三角形;C.等边三角形D.等腰直角三角形.4.如图:等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是()A.45°B.55°C.60°D.75°5.等腰梯形两底长为4cm和10cm,面积为21cm2,则这个梯形较小的底角是()度.A.45°B.30°C.60°D.90°6.已知点P在线段AB的中垂线上,点Q在线段AB的中垂线外,则()A.PA+PB>QA+QBB.PA+PB<QA+QBD.PA+PB=QA+QBD.不能确定7.已知△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称,且BC与B1C1交与直线MN上一点O,则PAECBD()A.点O是BC的中点B.点O是B1C1的中点C.线段OA与OA1关于直线MN对称D.以上都不对8.如图:已知∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD=()A.4B.3C.2D.19.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5,Q是OB上任一点,则()A.PQ>5B.PQ≥5C.PQ<5D.PQ≤510.等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm.则该等腰三角形的底长为()A.3cm或5cmB.3cm或7cmC.3cmD.5cm二.填空题11.线段轴是对称图形,它有_______条对称轴.12.等腰△ABC中,若∠A=30°,则∠B=________.13.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若CD=4,则点D到AB的距离是__________.14.等腰△ABC中,AB=AC=10,∠A=30°,则腰AB上的高等于___________.15.如图:等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=5,BC=8,且AB∥DE,则△DEC的周长是____________.16.等腰梯形的腰长为2,上、下底之和为10且有一底角为BADPOCBECDA60°,则它的两底长分别为____________.17.若D为△ABC的边BC上一点,且AD=BD,AB=AC=CD,则∠BAC=____________.18.△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若∠BAC=115°,则∠EAF=___________.三.解答题19.如图:已知∠AOB和C、D两点,求作一点P,使PC=PD,且P到∠AOB两边的距离相等.20.如图:AD为△ABC的高,∠B=2∠C,用轴对称图形说明:CD=AB+BD.21.有一本书折了其中一页的一角,如图:测得AD=30cm,BE=20cm,∠BEG=60°,求折痕EF的长.AC··DOBACDB22.如图:△ABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D,①若△BCD的周长为8,求BC的长;②若BC=4,求△BCD的周长.23.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.BCDEAACBPQFCDBEA考点五、等腰三角形的特征和识别⑴等腰三角形的两个_____________相等(简写成“________________”)⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合(简称为“________________”)特别的:(1)等腰三角形是___________图形.(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.⑶如果一个三角
本文标题:轴对称等腰三角形等边三角形
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