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第1页(共19页)必修二空间几何证明经典题型考试范围:必修二空间几何;考试时间:100分钟;命题人:罗文波第Ⅰ卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一.解答题(共25小题)1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:(Ⅰ)BE∥平面PAD;(Ⅱ)PA⊥BC;(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.2.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(Ⅰ)求证:VB∥平面MOC;(Ⅱ)求证:平面MOC⊥平面VAB;(Ⅲ)求三棱锥A﹣MOC的体积.3.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥PC,AB=PB,E,F分别是PA,AC的中点.求证:(1)EF∥平面PBC;(2)平面BEF⊥平面PAB.4.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.5.已知四棱锥A﹣BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(Ⅰ)求证:EF∥面ABC;(Ⅱ)求证:平面ADE⊥平面ACD;(Ⅲ)求四棱锥A﹣BCDE的体积.第2页(共19页)6.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面ABCD,且∠ABC=.(1)求证:BC∥平面AB1C1;(2)求证:平面A1ABB1⊥平面AB1C1.7.如图,三角形ABC中,AC=BC=,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.(Ⅰ)求证:GF∥底面ABC;(Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC;(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V.8.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.9.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,EF∥AB,EF=AB,平面BCF⊥平面ABCD,BF=CF,G为BC的中点,求证:(1)OG∥平面ABFE;(2)AC⊥平面BDE.10.如图所示,四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB.点E是PC的中点.(Ⅰ)求证:BE∥平面PAD;(Ⅱ)已知平面PCD⊥底面ABCD,且PC=DC.在棱PD上是否存在点F,使CF⊥PA?请说明理由.11.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E、F分别为PC、BD的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:面PAB⊥平面PDC.第3页(共19页)12.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=EC=.求证:(1)AC1∥平面BDE;(2)A1E⊥平面BDE.13.如图,ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直,交线为AC,若分别是PQ,CQ的中点.求证:(1)CE∥平面PBD;(2)平面FBD⊥平面PBD.14.已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.求证:(Ⅰ)直线MF∥平面ABCD;(Ⅱ)平面AFC1⊥平面ACC1A1.15.如图,四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.(1)求证:CD⊥AP;(2)若CD⊥PD,求证:CD∥平面PAB.16.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;(Ⅱ)求证:平面PEC⊥平面PCD.17.如图,三棱柱ABC﹣A1B1Cl中,M,N分别为CC1,A1B1的中点.CA⊥CB1,CA=CB1,BA=BC=BB1.(Ⅰ)求证:直线MN∥平面CAB1;(Ⅱ)求证:直线BA1⊥平面CAB1.第4页(共19页)18.如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,M是AB的中点,N是CE的中点.(I)求证:EM⊥AD;(II)求证:MN∥平面ADE;(III)求点A到平面BCE的距离.19.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2AD,BC⊥PD,E,F分别是PB,BC的中点.求证:(1)PC∥平面DEF;(2)平面PBC⊥平面PBD.20.如图,菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,且平面ABCD⊥平面BCE,FD⊥平面ABCD,.(I)求证:EF∥平面ABCD;(II)求证:平面ACF⊥平面BDF.21.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,A1B与AB1交于点D,A1C与AC1交于点E.求证:(1)DE∥平面B1BCC1;(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1.22.如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.(1)求证:BF∥平面ADP(2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.23.如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,EF∥CD,CD⊥EA,CD=2EF=2,ED=.M为棱FC上一点,平面ADM与棱FB交于点N.(Ⅰ)求证:ED⊥CD;(Ⅱ)求证:AD∥MN;(Ⅲ)若AD⊥ED,试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直?若能,求出的值;若不能,说明理由.第5页(共19页)24.如图,在三棱锥A﹣BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF.(1)求证:EF∥平ABD面;(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.25.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且平面PAC⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=PC,AB=2BC=2,∠ABC=60°.(Ⅰ)求证:PB∥平面ACE;(Ⅱ)求证:平面PBC⊥平面PAC.第6页(共19页)必修二空间几何证明经典题型一.解答题(共25小题)1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:(Ⅰ)BE∥平面PAD;(Ⅱ)PA⊥BC;(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.【解答】解:(Ⅰ)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.(Ⅱ)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD.又AD⊂平面PAD,BE不在平面PAD内,故有BE∥平面PAD.(Ⅲ)平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,ABED为矩形,故有BE⊥CD.由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD.再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD,∴CD⊥EF.而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.由于CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.2.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(Ⅰ)求证:VB∥平面MOC;(Ⅱ)求证:平面MOC⊥平面VAB;(Ⅲ)求三棱锥A﹣MOC的体积.【解答】(Ⅰ)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB,∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC;(Ⅱ)证明:∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB,又∵平面VAB⊥平面ABC,平面ABC∩平面VAB=AB,且OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB,∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB;(Ⅲ)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,∴等边三角形VAB的边长为2,S△VAB=,∵O,M分别为AB,VA的中点.∴.又∵OC⊥平面VAB,∴三棱锥.第7页(共19页)3.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥PC,AB=PB,E,F分别是PA,AC的中点.求证:(1)EF∥平面PBC;(2)平面BEF⊥平面PAB.【解答】证明:(1)在△APC中,因为E、F分别是PA、AC的中点,所以EF∥PC,…(3分)又PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,所以EF∥平面PBC.…(6分)(2)因为AB=PB,且点E是PA的中点,所以PA⊥BE,…(9分)又PA⊥PC,EF∥PC,所以PA⊥EF,…(12分)因为BE⊂平面BEF,EF⊂平面BEF,BE∩EF=E,所以PA⊥平面BEF,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面BEF.…(14分)4.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.5.已知四棱锥A﹣BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(Ⅰ)求证:EF∥面ABC;(Ⅱ)求证:平面ADE⊥平面ACD;(Ⅲ)求四棱锥A﹣BCDE的体积.第8页(共19页)【解答】证明:(Ⅰ)取AC中点G,连接FG、BG,∵F,G分别是AD,AC的中点∴FG∥CD,且FG=DC=1.∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG.EF⊄面ABC,BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…(4分)(Ⅱ)∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC,BG⊂面ABC∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC,∴BG⊥面ADC.…(6分)∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF⊂面ADE,∴面ADE⊥面ADC.…(8分)解:(Ⅲ)方法一:连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC..…(12分)方法二:取BC的中点为O,连接AO,则AO⊥BC,又CD⊥平面ABC,∴CD⊥AO,BC∩CD=C,∴AO⊥平面BCDE,∴AO为VA﹣BCDE的高,,∴.6.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面ABCD,且∠ABC=.(1)求证:BC∥平面AB1C1;(2)求证:平面A1ABB1⊥平面AB1C1.【解答】证明:(1)∵BC∥B1C1,且B1C1⊂平面AB1C1,BC⊄平面AB1C1,∴BC∥平面AB1C1.(2)∵平面A1ABB1⊥平面ABCD,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,∴平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1,∵平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,A1B1⊥C1B1,∴C1B1⊂平面AB1C1,∴平面A1ABB1⊥平面AB1C1.第9页(共19页)7.如图,三角形ABC中,AC=BC=,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.(Ⅰ)求证:GF∥底面ABC;(Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC;(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V.【解答】解:(I)证法一:取BE的中点H,连接HF、GH,(如图)∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC,HF∥DE,(2分)又∵ADEB为正方形∴DE∥AB,从而HF∥AB∴HF∥
本文标题:必修二++空间几何证明经典题型-(1)
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