直角三角形的存在性问题解题策略

中考数学压轴题解题策略（3）直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例❶如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝45．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝45，所以BH＝8．所以BC＝16．由EF//AC，得BFBEBABC，即31016BFx．所以BF＝5(3)8x．图1-2图1-3图1-4①如图1-3，当∠BDF＝90°时，由4cos5BDBBF，得45BDBF．解方程45(3)58xx，得x＝3．②如图1-4，当∠BFD＝90°时，由4cos5BFBBD，得45BFBD．解方程5154885xx，得757x．我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC的“限制”，只需要取其确定的∠B．例❷如图2-1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x，若△ABC为直角三角形，求x的值．图2-1【解析】△ABC的三边长都可以表示出来，AC＝1，AB＝x，BC＝3－x．如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC为斜边，则22)3(1xx，即0432xx，此方程无实根．②若AB为斜边，则1)3(22xx，解得35x（如图2-2）．③若BC为斜边，则221)3(xx，解得34x（如图2-3）．因此当35x或34x时，△ABC是直角三角形．图2-2图2-3例❸如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数)0(2xxy图象上的一点，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标．图3-1【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况．如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交4MN1MA1MB点；过点B画AB的垂线，有1个交点．以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B的坐标为（2，0），且∠BAP不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP＝90°时，点P的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB＝90°时，OP是Rt△APB的斜边上的中线，OP＝2．设P2(,)xx，由OP2＝4，得2244xx．解得2x．此时P(2,2)．图3-2图3-3方法二：由勾股定理，得PA2＋PB2＝AB2．解方程2222222(2)()(2)()4xxxx，得2x．方法三：如图3-4，由△AHP∽△PHB，得PH2＝AH·BH．解方程22()(2)(2)xxx，得2x．图3-4图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x2－2)2＝0．这个四次方程的解是x1＝x2＝2，x3＝x4＝2，它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P′两点（如图3-5）．例❹如图4-1，已知直线y＝kx－6经过点A(1,－4)，与x轴相交于点B．若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A、B两点分别画AB的垂线，各有1个点Q．和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A(1,－4)代入y＝kx－6，可得k＝2．所以y＝2x－6，B(3,0)．设OQ的长为m．分三种情况讨论直角三角形ABQ：①如图4-2，当∠AQB＝90°时，△BOQ∽△QHA，BOQHOQHA．所以341mm．解得m＝1或m＝3．所以Q(0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ＝90°时，△QHA∽△AGB，QHAGHAGB．所以4214m．解得72m．此时7(0,)2Q．③如图4-4，当∠ABQ＝90°时，△AGB∽△BMQ，AGBMGBMQ．所以243m．解得32m．此时3(0,)2Q．图4-2图4-3图4-4三种情况的直角三角形ABQ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A(1,－4)、B(3,0)，设Q(0,n)，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB2，AQ2和BQ2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例❺如图5-1，抛物线233384yxx与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM是什么意思呢？过A、B两点分别画AB的垂线，与直线l各有一个交点，那么第三个直角顶点M在哪里？以AB为直径的⊙G与直线l相切于点M啊！由23333(4)(2)848yxxxx，得A(－4,0)、B(2,0)，直径AB＝6．如图5-2，连结GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．因此3tan4GEM．设直线l与y轴交于点C，那么OC＝3．所以直线l（直线EC）为334yx．根据对称性，直线l还可以是334yx．图5-2例❻如图6-1，在△ABC中，CA＝CB，AB＝8，4cos5A．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，连结CE、DE．（1）求底边AB上的高；（2）设CE与AB交于点F，当△ACF为直角三角形时，求AD的长；（3）连结AE，当△ADE是直角三角形时，求AD的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D看作主动点，那么CE就是从动线段．反过来画图，点E在以CA为半径的⊙C上，如果把点E看作主动点，再画∠ACE的平分线就产生点D了．（1）如图6-2，设AB边上的高为CH，那么AH＝BH＝4．在Rt△ACH中，AH＝4，4cos5A，所以AC＝5，CH＝3．（2）①如图6-3，当∠AFC＝90°时，F是AB的中点，AF＝4，CF＝3．在Rt△DEF中，EF＝CE－CF＝2，4cos5E，所以52DE．此时52ADDE．②如图6-4，当∠ACF＝90°时，∠ACD＝45°，那么△ACD的条件符合“角边角”．作DG⊥AC，垂足为G．设DG＝CG＝3m，那么AD＝5m，AG＝4m．由CA＝5，得7m＝5．解得57m．此时2557ADm．图6-2图6-3图6-4（3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5图6-6马学斌[e-mail]2015年9月21日星期一To：《中小学数学·初中版》北京市海淀区西三环北路105号（首都师大）数学楼118室，100048