对数函数的图像与性质

§2.2.2对数函数及其性质一般地，如果1,0aaa的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，记作bNaloga叫做对数的底数，N叫做真数。复习对数的概念定义：由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，···，1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细胞？如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次数x呢？2xy由对数式与指数式的互化可知：2logxy上式可以看作以y为自变量的函数表达式对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与之对应，把y看作自变量，x就是y的函数，但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的函数：即2logyx这就是本节课要学习的：0(logaxya)1a定义：函数，且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。，对数函数一个函数为对数函数的条件是：①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③真数为单个自变量x.判断是不是对数函数5log5xy(1))2(log2xy(2)xy5log2)3(xyx2log)4(55(5)log1(6)log(7)log5xyxyxy（×）（×）（×）（×）（×）（×）（×）哈哈，我们都不是对数函数你答对了吗？？？我们是对数型函数请认清我们哈知识应用应用一定义问题xayalog)3(21.函数是对数函数,a=_____2解：由对数函数的定义有a2-3=1a＞0a≠1∴a=2a=-2或a=2a＞0a≠1解得图象性质yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a1)定义域:值域:恒过点：在R上是单调在R上是单调a10a1R(0,+∞)(0,1),即x=0时,y=1.增函数减函数指数函数的图像及性质当x0时，y1.当x0时，.0y1当x0时，y1；当x0时，0y1对称性：和的图像关于y轴对称.xya=1()xya=xya在同一坐标系中用描点法画出对数函数的图象。xyxy212loglog和作图步骤:①列表,②描点,③用平滑曲线连接。探究：对数函数:)1,0(logaaxya且对数函数有什么性质呢？列表描点连线21-1-21240yx32114x1/41/2124xy2log210-1-2-2-1012xy21log这两个函数的图象有什么关系呢？关于x轴对称………………y=log1/2xy=log2x2.思考：对数函数:y=logax(a＞0,且a≠1)图象随着a的取值变化图象如何变化？有规律吗？对数函数的图象。xyxy313loglog和猜猜:21-1-21240yx32114xy2logxy21logxy3logxy31log底大图右y=1观察右边图象，回答下列问题：问题一：图象分别在哪几个象限？问题二：图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题三：图象中有哪些特殊的点？答四个图象都在第＿＿＿＿象限。答：当底数＿＿时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．答：四个图象都经过点＿＿＿＿．一、四1a01a(1,0)011xxy2logxy3logxy31logxy21log观察右边图象，回答下列问题：问题五：函数与图象有什么关系？2logyx问题四：指数函数图像是否具有对称性？答：关于x轴对称。答：不关于y轴对称不关于原点中心对称2logyx12logyx011xxy2logxy3logxy31logxy21log图象性质a＞10＜a＜1定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即当x＝1时,y＝0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数yx0yx0(1,0)(1,0)2.对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)的图象与性质当x1时，y0当x=1时，y=0当0x1时，y0当x1时，y0当x=1时，y=0当0x1时，y0对称性：和的图像关于y轴对称.logayx1logayx例1已知函数f(x)为对数函数，且图象过点(4,2)，求f(1)，f(8)为对数函数解：)(xf32log8log)8(01log)1(log)(2(244log224)(log)(322222ffxxfaaaxfxxfaa舍）），过（又设)10aa且（与对数函数有关的定义域问题求下列函数的定义域．(1)y＝log(x－1)(3－x)；(2)y＝log2x＋1－1；(3)y＝lg(x＋1)＋3x21－x.[解题过程](1)要使函数y＝log(x－1)(3－x)有意义，只须使3－x0x－10x－1≠1∴1x2或2x3.∴函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域为(1,2)∪(2,3).(2)要使函数y＝log2x＋1－1有意义，只须使x＋10log2x＋1－1≥0，∴x－1x＋1≥2∴x≥1.∴函数y＝log2x＋1－1的定义域为[1，＋∞)．(3)要使函数有意义，需x＋101－x0，即x－1x1.∴－1x1，∴函数的定义域为(－1,1)．归纳：求函数的定义域应从以下几个方面入手（1）分母不能为0；（2）函数含有开偶次方运算时，被开方式必须大于等于0；（3）有对数运算时，真数必须大于0.底数必须大于0且不为1.（4）0次幂的底数不能为零.(1)lgyx0.5(2)1logyx21(3)logyx练习1.求下列函数的定义域练习2：求下列函数的定义域：（3）（4）)86(log2)3(xxyx)1(log21xy2logxya)4(logxya（1）（2）0xx4xx4xx2,132 2(2)1,1(1)()    (1) ()(log) ) (43xfogffxxffxx对数函数的单调性的应用（目标）已知函数的定义域为，求的定义域（2）的定义域反馈：已知函数的定义域为[0,1]，求函数的定义域练习3练习1：求函数的定义域？()lg()xxyxx2023221lg()xxxxx220210210320解：要满足不等式组解之，得函数定义域为{|}xxxx132122且且第二课时对数函数的性质—比较大小默写对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)的图象与性质图象性质a＞10＜a＜1定义域:值域:过定点单调性当x1时，当0x1时，当x1时，当0x1时，1：函数的图像过定点_______.log(21)(0,1)ayxaa变式：函数的图像过定点_______.2)1(logxya222()log(1)2()log()log(1)2fxxfxxfxx函数是有怎样平移而来？那么函数恒过定点（）•例1.比较下列各组中，两个值的大小：•（1）log23.4与log28.5（2）log0.31.8与log0.32.7log23.4log28.5y3.4xy2logx108.5∴log23.4log28.5解法1：画图找点比高低解法2：利用对数函数的单调性考察函数y=log2x,∵a=21,∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.48.5∴log23.4log28.5•例1.比较下列各组中，两个值的大小：•（1）log23.4与log28.5（2）log0.31.8与log0.32.7解法2：考察函数y=log0.3x,∵a=0.31,∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵1.82.7∴log0.31.8log0.32.7(2)解法1：画图找点比高低小结•例1.比较下列各组中，两个值的大小：•（1）log23.4与log28.5（2）log0.31.8与log0.32.7小结比较两个同底对数值的大小时:１.观察底数是大于1还是小于1（a1时为增函数0a1时为减函数）２.比较真数值的大小；３.根据单调性得出结果。注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论即0a1和a1例1.比较下列各组中，两个值的大小：•（3）loga5.1与loga5.9解:①若a1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵5.15.9∴loga5.1loga5.9②若0a1则函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵5.15.9∴loga5.1loga5.9你能口答吗？10100.50.522331.51.5log6log8log6log8log0.6log0.8log6log8　　　　　　　　　　　变一变还能口答吗？10100.50.522331.51.5loglogloglogloglogloglognmnmnnm　　　则m　　n　　　则m　　n　　　则m　　nm　　　　则　m　　n＜＞＞＜＜＞＞＜＜＜＜＜练习1：比较大小①log761②log0.531③log671④log0.60.11⑤log35.10⑥log0.120⑦log20.80⑧log0.20.60例2.比较下列各组中两个值的大小:⑴log67,log76;⑵log3π,log20.8.解:⑴∵log67＞log66＝1log76＜log77＝1∴log67＞log76⑵∵log3π＞log31＝0log20.8＜log21＝0∴log3π＞log20.8注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小提示:logaa＝1提示:loga1＝0xya1logxya2logxya3log3211aaax1yo11a2a3a（1）底数a1时,底数越大,其图象越接近x轴。“图低底大”1oyxxa1logxa2logxa3log1321aaa1a1a2a3(2)底数0a1时,底数越小,其图象越接近x轴。“图高底小”如图所示的是对数函数1:logaCyx2:logbCyx3:logcCyx1C2C3C4C则与1的大小关系是：,,,abcd1badc4321-1-2-3246810xyOxyCdlog:4在第一象限，函数的底数从左到右逐渐增大。底数a1时,底数越大,其图象越接近x轴。补充性质二底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。补充性质一图形10.5y=logx0.1y=logx10y=logx2y=logx0xy底数0a1时,底数越小,其图象越接近x轴。例3：比较下列各题中的两个值的大小。(1)、log25与log35(2)、log1/22与log1/32底数不同，真数相同357log6,log10,log14,,abcabc能力提升：设则的大小关系是21211(3)loglog33例4将0.80.90.90.71.1log,log,1.1由小到大排列0.911.11.1loglog00.810.70.7loglog00.80.70.70.7loglog1由指数函数的单调性可知：0.901.11.11∴0.80.90.7log1.1∴从小到大的排列是：0.90.80.91.10.7loglog1.1∴0.90.81.10.7loglog又解：利用对数函数的单调性可知：练习：比较下列各组数中两个值的大小6.0log,5.0log)1(32324.1log,6.1log)2(5.15.18.0loglog)3(323loglog)4(33log3log)5(2.05.08.0log3.0log)6(231二、对数函数的图象和性质;三、比较两个对数值的大小.一、对数函数的定义;3.对数函数的图象与性质：函数y=logax(a＞0且a≠1)底数a＞10＜a＜1图象定义域奇偶性值域定点单调性函数值符号1xyo1xyo非奇非偶函数非奇非偶函数(0,+∞)R(1,0)即x=1时，y=0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0当x＞1