直线与方程知识点总结及练习

1第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率一、什么是直线的倾斜角？定义：。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°二、什么叫直线的斜率？①定义：。直线的斜率常用k表示。即k=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：k=注意：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°,这时直线与y轴或；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。三、两条直线平行或者垂直（1）两条直线平行，则他们斜率，即l1∥l2.（2）两直线的k1=k2,则两直线有两种可能，或四、两条直线互相垂直（1）两直线互相垂直，则k1k2=。（2）如果k1k2=,则两条直线互相垂直。2基础练习：一、已知A(3，2)，B(-4,1),C(0,1),求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。二、已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：（1）a=30o(2)a=45o(3)a=120o(4)a=135o三、求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。（1）C(18,8),D(4,-4)(2)P(0,0),Q(-1,√)四、已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角：（1）A（a，c），B（b，c）（2）C（a，b），D（a，c）（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）3五、已知A（2，3），B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。六、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。七、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6)，试判断直线AB与PQ的位置关系。八、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，试判断∆ABC的形状。4九、试确定m的值，使过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P(1,2),Q(-5,0)的直线。（1）平行；（2）垂直十、已知直线的斜率k=2，A(3,5),B(x,7),C(-1,y)是这条直线上的三个点，求x和y的值。十一、判断下列各小题中的不同直线l1和l2是否平行：（1）l1的斜率为2，l2经过点A(1,2),B(4,8)（2）l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴，但不经过P，Q两点。（3）l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5)5十二、已知A(1,2),B(-1,0)(3,4)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？十三、已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB,且CB∥AD.十四、已知点M(2,2)和N(5,-2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标。6十五、已知四边形ABCD的顶点为A(2,2+2√),B(-2,2),C(0,2-2√),D(4,2),求证：四边形ABCD为矩形。十六、过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为45o,求m的值。73.2直线的方程①点斜式方程：，直线斜率k，且过点11,yx。注意：当直线的斜率为0°时，k=，直线的方程是y=。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b，即经过点（0，b）。③两点式：由斜率公式和点斜式方程推出两点式方程为：（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx写出推导过程：④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。写出推导过程：⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）8（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。9基础练习：一、直线l经过点P(-2,3),且倾斜角为a=45o,求直线l的点斜式方程。并画出直线l.二、已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论：（１）两直线平行的条件是什么？（2）两直线垂直的条件是什么？三、完成下面练习10四、已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0,b≠0,求直线l的方程。11五、已知三角形的三个顶点A(-5,0)，B(3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。六、求过下列两点的直线的两点式方程：(1)P(2,1),Q(0,-3)(2)A(0,5),B(5,0)12七、根据下列条件，求直线的方程（1）过点（0，5），且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2。八、已知直线经过点A(6,-4),斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。九、把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形。13十、根据下列条件，写出直线方程，并把它化成一般式。十一、完成下面题目：141516十二、完成下面2道证明题173.3直线的交点坐标与距离公式1、两条直线的交点（1）如何求两直线的交点？答：基础练习：一、求下列两条直线的交点：二、求下载各对直线的交点坐标，并简单画出图形。18三、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：192、两点间距离公式是怎么样的？：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=公式推导过程：基础练习：一、已知点A(-1,2),B(2,√),在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值。20二、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，并总结解决该题的基本步聚。三、完成下面2小题。213、点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离的公式是：公式的推导过程：（注意推导的步聚和要点）这个是难点，公式推导难，记忆难，一定要多做练习。基础练习：一、求点p(-1,2)到直线l：3x=2的距离。22二、已知点A（1，3），B（3，1）,C(-1,0),求∆ABC的面积。二、完成下开2小题234、两平行直线距离应该如何求？在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。基础练习：一、求下列两条平行线间的距离：(3）3x-2y-1=0,3x-2y+1=0二、A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+c=0:(1)平行（2）相交（3）垂直24三、完成下列各题252627（花10分钟总结解题方法、步聚、要点）2829