(课件)矩阵论

第一章线性空间与线性变换（第1节）1第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间一、集合与映射1．集合：能够作为整体看待的一堆东西．列举法：},,,{321LaaaS=性质法：}{所具有的性质aaS=相等(：指下面二式同时成立)21SS=2121,SSSaSa⊆∈⇒∈∀即1212,SSSbSb⊆∈⇒∈∀即交：}{2121SaSaaSS∈∈=且I并：}{2121SaSaaSS∈∈=或U和：},{22112121SaSaaaaSS∈∈+==+例1R}0{2221111∈==jiaaaaASR}0{2212112∈==jiaaaaAS，21SS≠R},00{2211221121∈==aaaaASSIR},0{21122221121121∈===jiaaaaaaaASSUR}{2221121121∈==+jiaaaaaASS2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．例如：实数域R，复数域C，有理数域，等等．Q3．映射：设集合与，若对任意的1S2S1Sa∈，按照法则σ，对应唯一的第一章线性空间与线性变换（第1节）2.)(,2baSb=∈σ记作称σ为由到的映射；称为的象，1S2Sbaa2为b的象源．变换：当1SS=时，称映射σ为上的变换．1S例2)2(R})({≥∈==×naaASjinnji．映射1σ：AAdet)(1=σ(R)→S变换2σ：nIAA)det()(2=σ()SS→二、线性空间及其性质1．线性空间：集合V非空，给定数域K，若在V中(Ⅰ)定义的加法运算封闭,即VyxVyx∈+∈∀)(,,元素对应唯一,且满足(1)结合律：)()()(Vzzyxzyx∈∀++=++(2)交换律：xyyx+=+(3)有零元：)(,VxxxV∈∀=+∈∃θθ使得(4)有负元：θ=−+∈−∃∈∀)(,)(,xxVxVx使得.(Ⅱ)定义的数乘运算封闭,即VkxKkVx∈∈∀∈∀)(,,元素对应唯一,且满足(5)数对元素分配律：)()(Vykykxyxk∈∀+=+(6)元素对数分配律：)()(Kllxkxxlk∈∀+=+(7)数因子结合律：)()()(Klxkllxk∈∀=(8)有单位数：单位数xxK=∈1,使得1.则称V为K上的线性空间．例3R=K时，nR—向量空间；nm×R—矩阵空间第一章线性空间与线性变换（第1节）3][tPn—多项式空间；—函数空间],[baCC=K时，—复向量空间；C—复矩阵空间nCnm×例4集合}{是正实数mm=+R，数域}{R是实数kk=．加法：mnnmnm=⊕∈+,R,数乘：kmmkkm=⊗∈∈+R,,R验证+R是R上的线性空间．证加法封闭，且(1)～(2)成立．(3)1=⇒=⇒=⊕θθθmmmm(4)mmmmm1)(1)()(m=−⇒=−⇒=−⊕θ数乘封闭，(5)～(8)成立．故+R是R上的线性空间．例5集合R}),({212∈==iξξξαR，数域R．设R),,(21∈=kηηβ．运算方式1加法：),(2211ηξηξβα++=+数乘：),(21ξξαkkk=运算方式2加法：),(112211ηξηξηξβα+++=⊕数乘：))1(21,(2121ξξξα−+=kkkkko可以验证与都是)(R2⋅+)(R2o⊕R上的线性空间．[注]在R中,)(2o⊕)0,0(=θ,．),(2121ξξξα+−−=−Th1线性空间V中的零元素唯一，负元素也唯一．证设与2θ都是V的零元素,则212211θθθθθθ=+=+=1θ设与都是的负元素,则由1x2xxθ=+1xx及θ=+2xx可得212111)()(xxxxxxxx++=++=+=θ22221)(xxxxxx=+=+=++=θθ第一章线性空间与线性变换（第1节）4例6在线性空间V中，下列结论成立．θ=x0：θ=⇒=+=+xxxxx01)01(01θθ=k：θθθθ=⇒=+=+kkxxkk)(kx)()1(xx−=−：()()(]1)1[()]([)1()1xxxxxxxx−=−++−=−++−=−2．减法运算：线性空间V中，)(yxyx−+=−．3．线性组合：KcVxxii∈∈若存在,,,使mmxcxcx++=L11,则称x是的线性组合，或者可由线性表示．mxx,,1Lxmxx,,1L4．线性相关：若有不全为零，使得mcc,,1Lθ=++mmxcxcL11，则称mxx,,1L线性相关．5．线性无关：仅当全为零时，才有mcc,,1Lθ=++mmxcxcL11，则称mxx,,1L线性无关．[注]在R中,)(2o⊕)1,1(1=α,)2,2(2=α线性无关；)1,1(1=α,)3,2(2=α线性相关．（自证）三、基与坐标1．基与维数：线性空间V中，若元素组满足nxx,,1L(1)线性无关；nxx,,1L(2)Vx∈∀都可由线性表示．nxx,,1L称为nxx,,1LV的一个基,为nV的维数,记作nV=dim，或者V.n例7矩阵空间nm×R中,易见(1)),,2,1;,,2,1(njmiEjiLL==线性无关；(2)．∑∑==×==minjjijinmjiEaaA11)(故),,2,1;,,2,1(njmiEjiLL==是nm×R的一个基,.mnnm=×dimR第一章线性空间与线性变换（第1节）52．坐标：给定线性空间V的基，当时，有nnxx,,1LnVx∈nnxxxξξ++=L11．称nξξ,,1L为在给定基下的xnx,,1Lx2坐标，记作列向量．Τ1),,(nξξαL=例8矩阵空间2R×中，设22)(×=jiaA．(1)取基，22211211,,,EEEE2222212112121111EaEaEaEaA+++=坐标为Τ22211211),,,(aaaa=α(2)取基,,,=11111B=11102B=11003B=10004B422432132122111)()()(BaBBaBBaBBaA+−+−+−=421223122121112111)()()(BaaBaaBaaBa−+−+−+=坐标为Τ21221221111211),,,(aaaaaaa−−−=β[注]一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．例如：在上述两个基下的坐标都是；22nnEA=Τ)1,0,0,0(11EA=在上述两个基下的坐标不同．Th2线性空间V中，元素在给定基下的坐标唯一．证设V的基为，对于，若nxx,,1LnVx∈nnxxxξξ++=L11nnxxηη++=L11则有θηξηξ=−++−nnnxx)()(111L因为线性无关,所以nxx,,1L0=−iiηξ,即),,2,1(niiiL==ηξ.故的坐标唯一．xn例9设线性空间V的基为,元素在该基下的坐标为nxx,,1Ljy),,2,1(mjjL=α,则元素组线性相关（线性无关）myy,,1L⇔向量组mαα,,1L线性相关（线性无关）．第一章线性空间与线性变换（第1节）6证对于数组,因为mkk,,1Lθαα=++=++))(,,(11111mmnmmkkxxykykLLL等价于θαα=++mmkL11k,所以结论成立.四、基变换与坐标变换1．基变换：设线性空间V的基(Ⅰ)为,基(Ⅱ)为,则nnxx,,1Lny,,1Ly+++=+++=+++=nnnnnnnnnnxcxcxcyxcxcxcyxcxcxcyLLLLLL22112222112212211111C=nnnnnncccccccccLMMMLL212222111211写成矩阵乘法形式为(Cxxyynn),,(),,11LL=称上式为基变换公式，C为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.[注]过渡矩阵C一定可逆.否则C的个列向量线性相关,从而nny,,1Ly1−线性相关（例9）．矛盾！由此可得111),,(),,(−=CyyxxnnLL称C为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵．2．坐标变换：设在两个基下的坐标分别为nVx∈α和β,则有=++=nnxxxξξL11α),,(1nxxLnnyyxηη++=L11β),,(1nyyL=βCxxn),,(1L=由定理2可得βαC=，或者，称为坐标变换公式.αβ1−=C例10矩阵空间22R×中，取基(Ⅰ),,,=10011A−=10012A=01103A−=01104A(Ⅱ),,,=11111B=01112B=00113B=00014B第一章线性空间与线性变换（第1节）7(1)求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵；(2)求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式．解采用中介法求过渡矩阵.基(0)：,,,=000111E=001012E=010021E=100022E(0)→(Ⅰ)：1222112114321),,,(),,,(CEEEEAAAA=(0)→(Ⅱ)：2222112114321),,,(),,,(CEEEEBBBB=，−−=00111100110000111C=00010011011111112C(Ⅰ)(Ⅱ)：→=),,,4321BBBB(2114321),,,(CCAAAA−=−−==−0100012211101112210110011010011001212211CCCC+++++++==332143243214321432122221ηηηηηηηηηηηηηηηξξξξC五、线性子空间1．定义：线性空间V中，若子集V非空，且对1V中的线性运算封闭，即(1)11,VyxVyx∈+⇒∈∀(2)11,VkxKkVx∈⇒∈∀∈∀称V为1V的线性子空间，简称为子空间．第一章线性空间与线性变换（第1节）81[注](1)子空间V也是线性空间,而且VVdimdim1≤.(2)}{θ是V的线性子空间,规定dim{0}=θ.(3)子空间V的零元素就是1V的零元素.例11线性空间V中，子集V是1V的子空间⇔对11,,,,VlykxKlkVyx∈+∈∀∈∀．有证充分性.：1==lk11,VyxVyx∈+⇒∈∀0=l：110,VykxkxKkVx∈+=⇒∈∀∈∀故V是1V的子空间.必要性.11,VkxKkVx∈⇒∈∀∈∀（数乘封闭）11,VlyKlVy∈⇒∈∀∈∀（数乘封闭）故（加法封闭）1Vylxk∈+例12在线性空间V中，设),,2,1(miVxiL=∈，则}{111Kkxkxkximm∈++==LV是V的子空间，称V为由生成的子空间．1mxx,,1L证mmxkxkxVx++=⇒∈L111∀mmxlxlyVy++=⇒∈∀L111:1111)()(Vxllkkxllkkylkxmmm,Klk∈∀∈++++=+L根据例11知，V是1V的子空间．[注](1)将V记作span或者．1},,{1mxxL),,(1mxxLL(2)元素组的最大无关组是的基；mxx,,1L),,(1mxxLL(3)若线性空间V的基为，则V．nnxx,,1L),,(1nnxxLL=2．矩阵的值域（列空间）：第一章线性空间与线性变换（第1节）9划分（），nmnnmjiaA××∈==C),,()(1ββLmjC∈β称),,()(1nLARββL=为矩阵的值域（列空间）．A易见AARrank)(=dim．例13矩阵A的值域}C{)(nxAxAR∈==β.证∈∀β左,有右∈==++=AxkkkknnnnMLL1111),,(βββββ∈∀β右,有左∈++===nnnnkkkkAxβββββLML1111),,(3．矩阵的零空间：设，称nmA×∈C}C,0{)(nxAxxAN∈==为矩阵A的零空间．易见AnANrank)(−=dim．Th3线性空间V中,设子空间V的基为n1)(,,1nmxxmL,则存在nn