【初三数学】-第10讲--解直角三角形-教案

1解直角三角形第10讲讲2适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点1.特殊角的三角函数值2.解直角三角形3.解直角三角形的应用4.解直角三角形的应用：坡度5.解直角三角形的应用：仰角俯角6.解直角三角形的应用：方位角教学目标1.能够理解记忆30°,45°,60°角的三角函数值,并会进行有关计算;2.理解方位角、坡角、仰角、俯角的概念，3.能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形4.会用这些角度的定义以及解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；教学重点灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力；教学难点构造恰当的直角三角形解决实际问题概述3【知识导图】【命题规律分析】针对于解直角三角形，在中考中属于必考题型，分值为13分左右，其中选择题一道，解答题一道.在选择题中只考核特殊角的三角函数值，分值为3分，解答题一题，分值为10分，考查学生的创新意识和创新能力，通过建立直角三角形模型解决实际问题.解直角三角形:由直角三角形的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为,,abc.(1)三边之间的关系:222.abc(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:1sincos,cossin,tan.tanabaABABAccbB(4)面积公式:11().22ABCSabchh为斜边上的高教学过程一、导入二、复习预习4sinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123增减性增大减小增大如下图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角.指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角,叫做方位角.如图：点A在点O的北偏东30°方向；点B在点O的南偏西45°方向（西南方向）；点C在点O的北偏西60°方向考点3解直角三角形的应用——方位角考点130°,45°,60°角的三角函数值三、知识讲解考点2解直角三角形的应用——仰角、俯角51.坡度（坡比）与坡角(1)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度坡度一般用i来表示，即hi=l，(2)坡面与水平面的夹角α叫坡角.2.坡度i与坡角α的关系hi==tanlα显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.类型已知条件解法两边两直角边a、bc=22ab，tanA=ab，∠B=90°-∠A一直角边a，斜边cb=22ca，sinA=ac，∠B=90°-∠A类型已知条件解法一边一锐角一直角边a，锐角A∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=sinaA斜边c，锐角A∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA四、例题精析考点4解直角三角形的应用——坡角考点5已知直角三角形两边，解直角三角形考点6已知直角三角形一边和一锐角，解直角三角形6类型一30°,45°,60°角的三角函数值三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A．35B．43C．34D．45【解析】C.【总结与反思】错误!未找到引用源。如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanB,sinA；【解析】tanB12sinA55【总结与反思】构造以B和A为锐角的直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义即可求解.例题2例题1例题37如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为．【解析】43【总结与反思】∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠D=90°CD=AB=4，AD=BC=5由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF=43.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（）A．B．C．D．例题48【解析】解：∵直径AB=10，∴OA=OC=OB=5，∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，又CD=8，∴CE=DE=4，在Rt△OCE中，根据勾股定理得：OC2=CE2+OE2，∴OE=3，则tan∠COE==．故选B．【总结与反思】由直径AB的长求出半径的长，再由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出CE的长，在直角三角形OCE中，利用勾股定理求出OE的长，再利用锐角三角函数定义即可求出tan∠COE的值．类型二解直角三角形的应用——仰角、俯角如图,线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B、C,从B点测得D点的仰角α为60°,从A点测得D点的仰角β为30°,已知甲建筑物的高度AB=34米.求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC.(结果保留根号)【解析】连接BD,过A作AE⊥CD于E,将α,β两角均放在直角三角形中,解两个直角三角形即可求BC和DC.解:如图,连接BD,作AE⊥DC于E,∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴四边形ABCE为矩形,∴CE=AB=34米,BC=AE,例题59设DE=x米,在Rt△ADE中,tan30,3DEAExAE米,在Rt△BCD中,tan60,DCBC3433xx解得x=17,3173BCx米,DC=x+34=51米.答:两建筑物之间的距离为173米,乙建筑物高51米.【总结与反思】先将实际问题转化为数学模型,再将数学模型转化为解直角三角形,图中无直角三角形时,作辅助线.如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）【解析】解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，∴AB=BE+AE=5+1≈10米．例题610答：旗杆AB的高度大约是10米．【总结与反思】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．【解析】解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，∴BC=∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50即：BD=2AB∵BD﹣BC=CD=200∴2AB﹣AB=200解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米.【总结与反思】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题类型三解直角三角形的应用——方位角例题8例题711如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4kmB．32kmC．22kmD．（3+1）km【解析】C【总结与反思】如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=2．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2，∴AB=AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选C．如图，甲、乙两渔船同时从港口出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时102海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处例题912发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为多少海里/小时？【解析】解：如图：乙沿南偏东30°方向航行则∠DOB=30°，甲沿南偏西75°方向航行，则∠AOD=75°，当航行1小时后甲沿南偏东60°方向追赶乙船，则∠2=90°-60°=30°．∵∠3=∠AOD=75°，∴∠1=90°-75°=15°，故∠1+∠2=15°+30°=45°．过O向AB作垂线，则∠AOC=90°-∠1-∠2=90°-15°-30°=45°，∵OA=102，∠OAB=∠AOC=45°，∴OC=AC=OA•sin45°=102×22=10．在Rt△OBC中，∠BOC=∠AOD+∠BOD-∠AOC=75°+30°-45°=60°，∴BC=OC•tan60°=103，∴AB=AC+BC=10+103．因为OC=10海里，∠B=30°，所以OB=2OC=2×10=20，乙船从O到B所用时间为20÷10=2小时，由于甲从O到A所用时间为1小时，则从A到B所用时间为2-1=1小时，甲船追赶乙船的速度为10+103海里/小时【总结与反思】根据题意画图，过O向AB作垂线，根据特殊角的三角函数值求得AC、BC的值，从而求得AB的值．根据追及问题的求法求甲船追赶乙船的速度例题1013如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．[来源:中&%国*教育#出@（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）【解析】解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x；在Rt△BCE中，BE=CE=x．∴AE+BE=x+x=100（+1），解得：x=100．∴AC=2x=200．在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．14过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，∴AC=y+y=200，解得：y=100（﹣1），∴AD=2y=200（﹣1）．答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．（2）由（1）可知，DF=AF=×100（﹣1）≈127∵127＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险【总结与反思】（1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案类型四解直角三角形的应用——坡角河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为【解析】解：如图Rt△ABC中，BC=6米，=1：，∴则AC=BC×=6，∴AB===12．例题1115【总结与反思】本题旨在考查坡比的概念，需要重点理解坡比.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1．5，则坝底AD的长度为【解析】解：46米【总结与反思】作如答图，过C点作CF⊥AD于点F，根据则等腰梯形的性质有AE=DF，EF=BC．∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1．5，∴AE=1．5BE=18米．∵BC=10米.∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加