现代信号处理第7章

2015年12月20日机械工程学院机自所动态室1现代信号处理技术及应用ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication何正嘉訾艳阳张西宁西安交通大学西安交通大学研究生创新教育系列教材2015年12月20日机械工程学院机自所动态室2第七章基于第二代小波变换的信号处理目前，相继提出了很多构造小波及其滤波器组的方法，为信号处理和工程应用领域提供了丰富的小波基函数。这些小波基函数大多数在频域中构造，其基本的变换工具是傅里叶变换，因此小波变换又称为第一代小波变换。1995年，SweldensW.提出了一种在时域中采用提升方法构造小波的第二代小波(secondgenerationwavelet)方法。相对于Mallat塔形算法而言，第二代小波方法是一种更为快速有效的小波变换实现方法。2015年12月20日机械工程学院机自所动态室3第七章基于第二代小波变换的信号处理第二代小波的优势有以下四点：1)它不依赖于傅里叶变换，在时域中完成对双正交小波的构造，具有结构化设计和自适应构造的优点；2)构造方法灵活，可以通过提升(liftingscheme)改善小波函数的特性，从而构造出具有期望特性的小波；3)不再是某一给定小波函数的伸缩和平移，它适合于不等间隔采样问题的小波构造；4)算法简单，运算速度快，占用内存少，执行效率高，可以分析任意长度的信号。1998年，Daubechies和Sweldens证明任意特性为有限冲击响应滤波器(FIR)的离散小波变换都可以通过简单的多步提升步骤来解决。2015年12月20日机械工程学院机自所动态室4第七章基于第二代小波变换的信号处理7.1第二代小波变换原理7.2预测器和更新器7.3第二代小波包分析7.4冗余第二代小波变换2015年12月20日机械工程学院机自所动态室5第七章基于第二代小波变换的信号处理7.1第二代小波变换原理7.2预测器和更新器7.3第二代小波包分析7.4冗余第二代小波变换2015年12月20日机械工程学院机自所动态室67.1第二代小波变换原理信号通常具有局部相关的数据结构，其相邻样本之间的相关性比相距较远的样本之间的相关性强。利用剖分(split)运算，将信号分成奇样本和偶样本序列。在一定的精度下，两个序列中的一个序列可以用预测(predict)运算来估计另一个序列，预测偏差为细节信号。利用细节信号对被预测的序列进行更新(update)运算，使序列得到修正，更新的结果为逼近信号。可以得到基于插值细分原理的第二代小波变换表示。2015年12月20日机械工程学院机自所动态室77.1第二代小波变换原理第二代小波变换的分解过程由三部分组成：剖分、预测和更新。其过程实现如图7.1.1所示。原始信号序列为，其数据长度为L图7.1.1第二代小波分解过程(1)剖分将原始信号分成偶样本序列和奇样本序列。则偶样本和奇样本序列分别为，。剖分(split)-PsesosdUS}),({ZkkxSSesos)2()(kxkse)12()(kxksoZk}),({Zkkssee}),({Zkkssoo2015年12月20日机械工程学院机自所动态室87.1第二代小波变换原理(2)预测用相邻的（，为正整数）个偶样本预测奇样本，将预测误差定义为小波的细节信号，即(7.1.3)式中定义为点预测器算法。当无边界影响时，预测器表示如下(7.1.4)式中为预测器系数。左边界受影响的情况有种，预测器统一表示为(7.1.5)右边界受影响的情况有种，预测器统一表示为(7.1.6)为偶样本序列的长度。NDN2D}),({Zkkdd)()()(eosPkskdZk()PN)(...)2()1()(21DkspDkspDkspsPeNeeeNppp,...,,211D)1(...)1()0()(21NspspspsPeNeeeD)(...)2()1()(''2'1LspNLspNLspsPeNeee'Les2015年12月20日机械工程学院机自所动态室97.1第二代小波变换原理(3)更新根据细节信号，采用（，为正整数）个细节信号更新偶样本，序列，定义为小波的逼近信号，即(7.1.7)式中定义为点更新器算法。当无边界影响时，更新器表示如下(7.1.8)式中为预测器系数。左边界受影响的情况有种，更新器统一表示为(7.1.9)右边界受影响的情况有种，更新器统一表示为(7.1.10)为细节信号的长度。dN~DN~2~D~}),({Zkkss)()()(dUkskse()UN~)1~(...)1~()~()(~21DkduDkduDkdudUNNuuu~21,...,,D~)1~(...)1()0()(~21NdudududUN1~D)(...)2~()1~()('~'2'1LduNLduNLdudUN'LdZk2015年12月20日机械工程学院机自所动态室107.1第二代小波变换原理当预测器系数为、更新器系数为时，基于插值细分原理的第二代小波变换分解过程如图7.1.2所示。图7.1.2基于插值细分原理的第二代小波分解2N4~N原始信号剖分预测更新细节信号逼近信号2015年12月20日机械工程学院机自所动态室117.1第二代小波变换原理第二代小波变换的重构过程由三部分组成：恢复更新、恢复预测和合并。其过程实现如图7.1.3所示。图7.1.3第二代小波重构过程(1)恢复更新由逼近信号和细节信号恢复偶样本序列。(7.1.11)(2)恢复预测由偶样本序列和细节信号恢复奇样本序列。(7.1.12)(3)合并由偶样本序列和奇样本序列恢复原始信号。(7.1.13/14)Sesos重构(merge)-UsesosdPSsd)()()(dUkskseZkZkZk)()()(eosPkdksesdesos)()2(kskxe)()12(kskxo2015年12月20日机械工程学院机自所动态室127.1第二代小波变换原理当预测器系数为、更新器系数为时，基于插值细分原理的第二代小波变换重构过程如图7.1.4所示。图7.1.4基于插值细分原理的第二代小波重构2N4~N恢复更新恢复预测合并2015年12月20日机械工程学院机自所动态室13第七章基于第二代小波变换的信号处理7.1第二代小波变换原理7.2预测器和更新器7.3第二代小波包分析7.4冗余第二代小波变换2015年12月20日机械工程学院机自所动态室147.2预测器和更新器7.2.1预测器系数计算方法预测器系数的个数为，即。可得到高通滤波器系数与预测器系数之间的关系(7.2.1)(7.2.2)(7.2.3)预测多项式的阶数等价于小波的消失矩[4]。采用个相邻的偶样本预测时，其对偶小波满足如下条件(7.2.4)N,1,2,,lplNP,1,2,,1kgkNNNgP(21)lglpNl,...,2,1)2/()2(~NllgNl,...,2,112(/21)(/21)[,0,,...,,1,,...,]NNNpppppgN)(~x()0rxxdx0rN(),()()lkttlk对偶小波2015年12月20日机械工程学院机自所动态室157.2预测器和更新器7.2.1预测器系数计算方法对于离散小波变换，对偶小波具有阶消失矩，其对应的对偶等效滤波器系数序列具有相同的消失矩。(7.2.5)将式(7.2.5)展开，写成矢量形式如下(7.2.6)当时，式(7.2.6)可写成如下矩阵展开(7.2.7)N)(~xg~110NrkkNkg0rN[(1)(2)...(1)01...(1)]0rrrrrrTNNNg0000001111111111(1)(2)...(1)01...(1)(1)(2)...(1)01...(1)0......(1)(2)...(1)01...(1)TNNNNNNNNNNNNNNg0,1,...,1rN2015年12月20日机械工程学院机自所动态室167.2预测器和更新器7.2.1预测器系数计算方法式(7.2.7)可用简式表示如下(7.2.8)式(7.2.8)中，矩阵为一个的矩阵，其元素表示如下(7.2.9)其中，，且令。由于等效高通滤波器仅与预测器系数有关，因此由式(7.2.9)就可以得到预测器系数。(7.2.3)0TVgV)12(NNmnmnV,)1(),...,1(NNn1,...,1,0Nm100gP12(/21)(/21)[,0,,...,,1,,...,]NNNpppppg,1,2,,lplNP2015年12月20日机械工程学院机自所动态室177.2预测器和更新器7.2.2更新器系数计算方法设在更新阶段，更新器的个数为（，为正整数），预测器的个数为（，为正整数）。将和代入第二代小波重构等效高通滤波器表达式，则得到重构等效高通滤波器表达式如下(7.2.10)式(7.2.10)中，为重构等效高通滤波器系数。PUN~DN~2~D~NDN2DPUg21222222212222221211()()(1()())...[1(...)(...)]DDDDDDDNNNgzUzzPzUzuzuzuzzpzpzuzuz22NNkkkNNgzkg2015年12月20日机械工程学院机自所动态室187.2预测器和更新器7.2.2更新器系数计算方法设。与、的关系为(7.2.11)(7.2.12)当取其它值时，。与式(7.2.8)类似，得到如下关系式(7.2.13)式(7.2.13)中为一个维矩阵，其元素表示如下(7.2.14)更新器系数作为未知变量可由式(7.2.13)计算得到。PUg,22kgNNkNNgNmmlmNmmlmNNlup)/N(Nluplg1)1(1)1(2/)~(2~1)12(NluNlgl~,...,2,1)22(l0)2(lg0TVgV)1~22(~NNNmnmnV,~2015年12月20日机械工程学院机自所动态室197.2预测器和更新器7.2.3预测器和更新器系数特性（1）所有预测器系数之和为1，即；（2）所有更新器系数之和为，即；（3）当时，预测器系数为其对应更新器系数大小的两倍，即（4）预测器和更新器系数具有对称性，即（5）预测器系数的个数和更新器系数的个数取不同值时，可以组合构成新小波。Niip1121Niiu~12/1NN~1212,,...,2,2,...,2NNpppuuu1/2/21,...,NNNpppp1/2/21,...,NNNuuuuNN~2015年12月20日机械工程学院机自所动态室207.2预测器和更新器7.2.4第二代小波尺度函数和小波函数特性得到预测器、更新器系数后，通过对序列进行插值迭代运算就能得到第二代小波尺度函数和小波函数。图7.2.1第二代小波尺度函数算法流程图图7.2.2第二代小波小波函数算法流程图()x()xxe(n)=c(n)-U(d(n))xo(n)=d(n)+P(xe(n))x(2n)=xe(n)x(2n+1)=xo(n)issmooth?d=x)(xEndYesNoInputc=[...,0,0,0,0,0,...]d=[...,0,0,1,0,0,...]xe(n)=c(n)-U(d(n))xo(n)=d(n)+P(xe(n))x(2n)=xe(n)x(2n+1)=xo(n)issmooth?c=x)(xEndYesNoInputc=[...,0,0,1,0,0,...]d=