受迫振动研究实验报告

受迫振动研究报告曹正庭（东南大学吴健雄学院，南京，211189）摘要：本实验借助共振仪，测量观察电磁阻尼对摆轮的振幅与振动频率之间的影响。在此基础上，研究了受迫振动，测定摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并以此求出阻尼系数δ。关键词：受迫振动幅频特性曲线相频特性曲线引言：振动是自然界最常见的运动形式之一。由受迫振动而引起的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理设计制作；为研究物质的微观结构，常采用磁共振的方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要的任务。1.实验原理1.1受迫振动本实验中采用的是伯尔共振仪，其外形如图1所示：图1铜质圆形摆轮系统作受迫振动时它受到三种力的作用：蜗卷弹簧B提供的弹性力矩−kθ,轴承、空气和电磁阻尼力矩−b𝑑𝜃𝑑𝑡,电动机偏心系统经卷簧的外夹持端提供的驱动力矩M=𝑀0cos𝜔𝑡。根据转动定理，有J𝑑2𝜃𝑑𝑡2=−𝑘𝜃−𝑏𝑑𝜃𝑑𝑡+𝑀0cos𝜔𝑡（1）式中，J为摆轮的转动惯量，𝑀0为驱动力矩的幅值，𝜔为驱动力矩的角频率，令𝜔02=𝑘𝐽，2δ=𝑏𝐽，m=𝑀0𝐽则式（1）可写为𝑑2𝜃𝑑𝑡2+2δ𝑑𝜃𝑑𝑡+𝜔02𝜃=𝑚cos𝜔𝑡(2)式中δ为阻尼系数，𝜔0为摆轮系统的固有频率。在小阻尼(𝛿2−𝜔2)条件下，方程（2）的通解为：θ=𝜃𝑎𝑒−𝛿𝑡cos(𝜔0𝑡+𝑎)+𝜃𝑏𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+𝜑)此解为两项之和，由于前一项会随着时间的推移而消失，这反映的是一种暂态行为，与驱动力无关。第二项表示与驱动力同频率且振幅为𝜃𝑏的振动。可见，虽然刚开始振动比较复杂，但是在不长的时间之后，受迫振动会到达一种稳定的状态，称为一种简谐振动。公式为：θ=𝜃𝑏𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡+𝜑)(3)振幅𝜃𝑏和初相位𝜑（𝜑为受迫振动的角位移与驱动力矩之间的相位差）既与振动系统的性质与阻尼情况有关，也与驱动力的频率𝜔和力矩的幅度𝑀0有关，而与振动的初始条件无关（初始条件只是影响达到稳定状态所用的时间）。𝜃𝑏与𝜑由下述两项决定：𝜃𝑏=𝑚√(𝜔02−𝜔2)2+4𝛿2𝜔2（4）φ=arctan−2𝛿𝜔𝜔02−𝜔2（5）1.2共振由极值条件𝜕𝜃𝑏𝜕𝜔=0可以得出，当驱动力的角频率为ω=√𝜔02−2𝛿2时，受迫振动的振幅达到最大值，产生共振：共振的角频率𝜔𝑟=√𝜔02−2𝛿2振幅：𝜃𝑟=𝑚2𝛿√𝜔02−𝛿2（6）相位差𝜑𝑟=arctan(−√𝜔02−2𝛿2𝛿)由上式可以看出，阻尼系数越小，共振的角频率𝜔𝑟越接近于系统的固有频率𝜔0，共振振幅𝜃𝑟也越大，振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近于π/2.下面两幅图给出了不同阻尼系数δ的条件下受迫振动系统的振幅的频率相应（幅频特性）曲线和相位差的频率响应（相频特性）曲线。受迫振动的幅频特性受迫振动的相频特性1.3阻尼系数δ的测量(1)由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数δ摆轮如果只受到蜗卷弹簧提供的弹性力矩−kθ,轴承、空气和电磁阻尼力矩−b𝑑𝜃𝑑𝑡，阻尼较小（𝛿2𝜔02）时，振动系统作阻尼振动，对应的振动方程和方程的解为：𝑑2𝜃𝑑𝑡2+2δ𝑑𝜃𝑑𝑡+𝜔02𝜃=0θ=𝜃𝑎𝑒−𝛿𝑡cos(𝜔𝑎𝑡+𝑎)𝜔𝑎=√𝜔02−𝛿2可见，阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔n个周期的两振幅之比取对数，则有：ln𝜃0𝜃𝑛=𝑙𝑛𝜃𝑎𝑒−𝛿𝑡𝜃𝑎𝑒−𝛿(𝑡+𝑛𝑇)=𝑛𝛿𝑇实际的测量之中，可以以此来算出𝛿值。其中，n为阻尼振动的周期数，𝜃0为计时开始时振动振幅，𝜃𝑛为的n次振动时振幅，T为阻尼振动时周期。（2）由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数δ（只适合于𝛿2≪𝜔02时的情况）由幅频特性可以看出，弱阻尼𝛿2≪𝜔02情况下，共振峰附近𝜔𝜔0⁄≈1，ω+𝜔0≈2𝜔0，由（4）和（6）可得：𝜃𝑏𝜃𝑟=2𝛿√𝜔02−𝛿2√(𝜔02−𝜔2)2+4𝛿2𝜔2≈𝛿√(𝜔−𝜔0)2+𝛿2当𝜃𝑏=𝜃𝑟√2⁄时，由上式可得：ω−𝜔0≈±δ。在幅频特性曲线上可以直接读出𝜃𝑏=𝜃𝑟√2⁄处对应的两个横坐标𝜔+𝜔0⁄和𝜔−𝜔0⁄，从而可得：𝜔+−𝜔−=2δ（8）2.实验仪器伯尔共振仪，如图：3.实验数据及其处理3.1测定电磁阻尼为0情况下摆轮的振幅与振动周期的对应关系对这些数据进行作点拟合：周期（s）振幅周期（s）振幅周期（s）振幅1.5691591.5721221.575821.5691581.5721201.575781.5701531.5721161.575761.5701471.5731141.575751.5701461.5731111.575741.5701451.5731101.576691.5701411.5731091.576661.5711371.5731061.576601.5711351.5731031.576591.5711301.574991.576581.5721271.574941.576531.5711261.574931.576521.5721251.574921.576511.5721241.574911.576501.57487(𝜃)(𝜃)(𝜃)由拟合直线可以看出周期T与振幅θ的关系式为：T=−6.6801∗10−5∗θ+1.5800说明：（1）由于材料的性质和制造工艺等原因，使得弹簧系数k在扭转角度θ的改变而略有变化（3%左右）。为此测出周期与振幅之间的关系曲线，供作幅频特性曲线和相频特性曲线是查用，有效减小实验的系统误差。（2）由于实验测量精度的原因，测量值无法表现出一种连续性的变化。所以在图上的描点会出现这样的情况。采用直线拟合效果也是比较好的。3.2观察研究摆轮的阻尼振动实验数据如下：由公式：ln𝜃0𝜃𝑛=𝑙𝑛𝜃𝑎𝑒−𝛿𝑡𝜃𝑎𝑒−𝛿(𝑡+𝑛𝑇)=𝑛𝛿𝑇可以得出：ln15071=15.735∗δ所以：δ=0.04753振幅1501381281171081009284787110个周期（15.736s）时振幅记录(𝜃)3.3测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数数据载入(周期的单位均为S):初始周期指的是对应角度的阻尼为0是的周期。由此，可以作出幅频特性曲线和相频特性曲线。拟合出来的幅频特性曲线：周期*10振幅相位差周期*1初始周期角频率比值16.2336624.51.62331.5756010.970616116.2136825.71.62131.5754680.97173116.1777227.51.61771.57520.973728316.15275281.61521.5750.975111416.08684331.60861.5743990.978738516.01297391.60121.573530.982719415.94112461.5941.5725280.986529715.91111849.51.59111.5721270.988075815.87112755.51.58711.5715260.990187315.8413461.21.5841.5710590.9918315.81140661.5811.5706580.993458515.78514671.21.57851.5702570.99477815.763149761.57631.5700570.996039215.746151801.57461.5699230.997029715.723154861.57231.5697230.998360815.71154861.5711.5697230.999186915.70115491.51.57011.5697230.999759715.689154951.56891.5697231.000524315.6721511001.56721.5699231.001737515.651481061.5651.5701231.003273815.6181391151.56181.5707251.005714315.6132120.51.561.5711921.007174515.581126125.51.55811.5715931.008659915.554116131.51.55541.5722611.010840315.5281071361.55281.5728621.012920115.5041001401.55041.573331.014789715.459871451.54591.5741981.018305415.257561591.52571.5762691.033144915.182491611.51821.5767371.0385567(𝜃)拟合的幅频特性曲线的参数如下：由拟合可得，振幅θ与𝜔𝜔0的关系为：θ=55.7246+3.02860.0252√𝜋2𝑒−2（𝜔𝜔0−0.9991）20.02522因此，峰值𝜃𝑟=151.7293由公式（8），当𝜃𝑏=𝜃𝑟√2时，𝜔+−𝜔−=2δ因为𝜔+−𝜔−=(0.01403∗2)∗𝜔0,推出δ=0.01403∗𝜔0因为𝜔0=2𝜋𝑇0，且理想条件为𝜔𝜔0=𝑇0𝑇=1，通过查表可知𝑇0=1.572s，所以，阻尼系数为：δ=0.0561说明：（1）两次算出的值相差比较大，可能是因为使用的计算方式不一样造成的。拟合出来的幅频特性曲线：相应的拟合参数为：所以，拟合的方程为：φ=161.7824−141.22731+𝑒𝜔𝜔0−0.99980.0087由拟合的参数可知，拟合的程度还是相当好的。4总结本次试验通过伯尔共振仪测量观察电磁阻尼对摆轮的振幅与振动频率之间的影响。在此基础上，研究了受迫振动，测定摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并以此求出阻尼系数δ。此外，本次试验未对两种方式算出的阻尼系数为什么相差比较大做出理论分析。4参考文献[1]钱锋、潘人培，《大学物理实验（修订版）》，北京：高等教育出版社，2005年