江苏省盐城市2018届高三(上)期中数学试卷(Word版-含答案解析)

第1页（共18页）2017-2018学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B=．2．函数y=sin2x的最小正周期是．3．设幂函数y=xα的图象经过点，则α的值为．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，，，则A=．5．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．6．在等差数列{an}中，若，则数列{an}的前6项的和S6=．7．设向量，，，若，则x+y=．8．若函数f（x）=x2+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为．9．设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则=．10．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为．11．设函数f（x）是以4为周期的奇函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，则f（log220）=．12．设函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥4恒成立，则的取值范围是．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，a=4，角A第2页（共18页）的平分线交边BC于点D，其中AD=3，则S△ABC=．14．设数列{an}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是数列{an}中的某一项．现有下列命题：①数列{an}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③数列{an}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，，且．（1）求b的值；（2）求sin（A﹣B）的值．16．记函数f（x）=lg（1﹣ax2）的定义域、值域分别为集合A，B．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．设直线是函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（2）求函数f（x）在[0，π]上的减区间．18．2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目．规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍．记2016年为第1年，f（n）为第1年至此后第n（n∈N*）年的累计利润（注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当f（n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求f（n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．（参考数据：，ln2≈0.7，ln3≈1.1）19．已知数列{an}满足a1=﹣1，a2=1，且．第3页（共18页）（1）求a5+a6的值；（2）设Sn为数列{an}的前n项的和，求Sn；（3）设bn=a2n﹣1+a2n，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．20．设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．（1）若函数在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）设函数φ（x）=f（x）+g（x），若对任意的，都有φ（x）≥0，求m的取值范围；（3）设m＞0，点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，且函数f（x）与g（x）在点P处的切线互相垂直，求证：存在唯一的x0满足题意，且．第4页（共18页）2017-2018学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B={1，2，3，6}．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B={1，2，3，6}，故答案为：{1，2，3，6}2．函数y=sin2x的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．【解答】解：函数y=sin2x的最小正周期是=π，故答案为：π．3．设幂函数y=xα的图象经过点，则α的值为．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由于幂函数y=xα的图象过点，把此点的坐标代入解得α即可．【解答】解：∵幂函数y=xα的图象过点，∴，解得．故答案为．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，，，则A=．【考点】HP：正弦定理．第5页（共18页）【分析】由已知结合正弦定理，可得sinA=1，进而得到答案．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，，，则由正弦定理得：，即，解得：sinA=1，又由A为三角形的内角，故A=，故答案为：．5．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【考点】2I：特称命题．【分析】若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．6．在等差数列{an}中，若，则数列{an}的前6项的和S6=2．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由已知结合等差数列的性质求得a1+a6，再由等差数列的前n项和公式求得S6．【解答】解：在等差数列{an}中，∵，∴S6==．第6页（共18页）故答案为：2．7．设向量，，，若，则x+y=．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得若，则有，解可得x、y的值，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，，若，则有，解可得，则x+y=，故答案为：．8．若函数f（x）=x2+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（﹣，﹣6）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得f′（1）•f′（2）＜0，解出不等式求并集即可．【解答】解：f′（x）=2x+a+3+=，若f（x）在（1，2）上存在唯一的极值点，则f′（1）f′（2）＜0，即（a+6）（2a+15）＜0，解得：﹣＜a＜﹣6，故答案为：（﹣，﹣6）．第7页（共18页）9．设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则=8．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积定义，写出•，再由菱形的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义，得到||×cos∠BAO=||=2，从而求出答案．【解答】解：设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，则AC⊥BD，且AO=AC=2，由平面向量的数量积定义可知：•=||×||×cos∠BAC=4×||×cos∠BAO=4×||=4×2=8．故答案为：8．10．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．第8页（共18页）【分析】由函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式；再由f（α）的值，利用三角恒等变换求出f（α+）的值．【解答】解：由函数f（x）的图知，A=2，由T=2×[﹣（﹣）]=2π，得ω==1，∴f（x）=2sin（x+φ）；又f（）=2sin（+φ）=2，且﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）；由f（α）=2sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=；又0＜α＜，∴﹣＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==；∴f（α+）=2sinα=2sin[（α﹣）+]=2sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=2××+2××=．故答案为：．11．设函数f（x）是以4为周期的奇函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，则f（log220）=．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3T：函数的值．【分析】由函数f（x）是以4为周期的奇函数，log220∈（4，5），可得：4﹣log220x第9页（共18页）∈[﹣1，0），进而f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）是以4为周期的奇函数，log220∈（4，5），∴4﹣log220x∈[﹣1，0），∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），∵当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，∴f（log220）=﹣（）==，故答案为：．12．设函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥4恒成立，则的取值范围是（﹣∞，2]．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】利用勾勾函数的性质即可求解．【解答】解：函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），∵x∈（0，+∞）当x＞a时，可得f（x）=x+﹣a﹣a≥4，当且仅当x=3时取等，即6﹣a≥4，可得：a≤2．当x＜a时，可得f（x）=a﹣x+，∵y=在（0，+∞）是递减函数，对f（x）≥4不成立．∴a无解．故答案为（﹣∞，2]．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，a=4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3，则S△ABC=12．【考点】HT：三角形中的几何计算．第10页（共18页）【分析】由题意ABD和ADC面积和定理可得AD=，△ABC中利用余弦弦定理即可求解b•c，根据S△ABC=cbsinA可得答案．【解答】解：由A=，a=4，余弦定理：cosA=，即bc=b2+c2﹣112．…①角A的平分线交边BC于点D，由ABD和ADC面积和定理可得AD=，AD=3，即bc=3（b+c）…②由①②解得：bc=48．那么S△ABC=cbsinA=12．故答案为：1214．设数列{an}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是数列{an}中的某一项．现有下列命题：①数列{an}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③数列{an}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有①②③．（请将你认为正确命题的序号都写上）【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，因此0∈{an}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；第11页（共18页）若a1﹣a2=a3∈{an}，此时a1=3a3，可得数列{an}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，