21_行程与工程

运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题．1。从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行．甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙等分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔多少一分钟开出一辆电车【分析与解】电车15秒(14分钟)行驶了(82-60)×10-60×14=205(米).电车的速度为205÷14=820(米／分)．于是，甲走10分钟的路电车需要1分钟，因此每隔10+l=11(分)电车总站开出一辆电车.2。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的15．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米?【分析与解】BE是BC的45，CE是BC的15，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G．小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷614=18(分钟)．因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；A至D全程长是(36+54)×660+30×560=11.5千米．3．一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头．如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、……，即是一个由连续奇数组成的数列．问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒?【分析与解】它们每秒钟共同爬行5.5+3.5=9厘米．第1秒在上半个圆周上，共同爬行了9厘米；再过3秒在下半圆上，共同爬行了9×3-9=18厘米；再过3秒在上半圆上，共同爬行了9×5-18=27厘米；…列出下表，找出规律圆周长是1.26米=126厘米，半圆周长是63厘米，因此，它们共同爬行了1+3+5+7+9+11+13=49秒．4．如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是38米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?【分析与解】38×4=32即蓝精灵跳4次到A点．圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点．圆半径乘以4后，跳16次到A点．依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点．1000次跳完后圆周长是1×72=128米．5．一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米．从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米．早晨8时，由第1站发出一列客车，向第1l站驶去，时速是100千米．在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站．问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇?【分析与解】设在A、B两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇．考虑客车在到达各站时，与前方各列货车的距离．由于货车的速度是客车的60％，在客车从某一站A行驶到下一站B时(行驶7千米)，各列货车行驶了7千米×60％=4.2千米．因此，在客车到达A站前，客车前方11.2千米以内的各列货车，在客车到达B站前都能与客车相遇．若在A站和B站间客车遇到3列货车，那么其中第三列与A站在距离至多为11.2千米而与其中第一列货车的距离为5×2=10千米，所以其中第一列货车与A站的距离不超过11.2-10=1.2千米．反过来，若客车在到达A站时前方1.2千米以内有一列货车，则客车在到达B站前一定能遇到3列货车．于是把客车到达各站时与前方第一列货车的距离列表如下：(上表第二行规律为，从第二个数开始，每个数等于前面一个数加上一个5的倍数再减11.2)其中有两个数小于1.2，相应的站分别为第5站和第9站．但客车在到达第9站时前方只有1列货车了，所以只能在第5,6站之间与3列货车相遇．6．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?【分析与解】方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49．设单位时间内猫跑1米，则狗跑259米，兔跑4925米．狗追上猫一圈需300÷(259-1)=6754单位时间，兔追上猫一圈需300÷(4925-1)=6252单位时间．猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是6754的整数倍，又是6252的整数倍.6754与6252的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即675,62567562516875,424,22=8437.5．上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5米，狗跑了8437.5×259=23437.5米，兔跑了8437.5×4925=16537．5米．方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同．所以猫、狗、兔的速度比为152521::352125，它们的最大公约数为15,25,211525211,,35212535,21,253557.即设猫的速度为151225353557，那么狗的速度为251625213557，则兔的速度为211441253557．于是狗每跑300÷(625-225)=34单位时追上猫；兔每跑300÷(441-225)=2518单位时追上猫．而3,2532575,4184,182，所以猫、狗、兔跑了752单位时，三者相遇．有猫跑了752×225=8437.5米，狗跑了752×625=23437.5米，兔跑了752×441=16537.5米．评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是752单位，可是答案却是一样的，为什么呢?在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误．于是狗每跑300÷(625-225)×625=18754米追上猫；兔每跑300÷(441-225)×441=12252米追上猫；而1875,122518751225,424,2，…7．甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米．学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少?【分析与解】甲班步行走了AC，汽车载着乙班从A出发；当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C与甲班相遇．最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B.在汽车与甲班在C相遇之间，甲班走了AC，汽车走了AD+DC．由于在这一过程中,车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即(AC+2CD):AC=48:4=12:1因此，2CD:DB=15:l，CD:DB=15:2．由此，AC:DB=211×152=15:11．评注：首先确定谁先步行，再利用比与比例来求解．8．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?【分析与解】如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间120；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：1111:3:4520420而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．于是，甲步行的距离为2×4433=0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米；所以甲需要时间为(0.83.2520)×60=19.2分钟环形两周的最短时间为19.2分钟．参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米；乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车)；丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米．9．一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的45，乙只能完成原来的910．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?【分析与解】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由甲单独完成．现设两人合作x天，则甲单独做8-x天，于是得到方程(110×80％+115×90％)×x+110×(8-x)=l，解出x=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天．10．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天?【分析与解】晴天时，一队、二队的工作效率分别为112和115，一队比二队的工作效率高112-115=160；雨天时，一队、二队的工作效率分别为112×(1-40%)=120和115×(1-10%)=350,这时二队的工作效率比一队高350-120=1100.由160:1100=5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的112×3+120×5=12，所以，整个施工期间共有6个晴天,10个雨天.11．有甲、乙两项工作．张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天．如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天?【分析与解】合理安排应是李先单独完成甲工作，同时，张单独先做8天乙工作．然后，张、李合作完成乙工作的剩余量，共用(1-115×8)÷(115+120)+8=715÷760+8=12(天).因此,这两项工作都完成最少需要12天．12．画展9时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队．那么第一个观众到达的时间是8时几分?【分析与解】由题意可得两个等式，如下：(开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3×(每个入口每分钟进的人数)×9①(开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=