数学物理方法--快速学习资料与练习题

1现代远程教育《数学物理方法》课程学习指导书作者：赵先林08年2月2课程学习方法指导为便于学员尽快进入本课程的学习，下面将简要介绍本课程的性质及基本要求，并给出学习方法指导。一、课程的性质、目的和任务通过本课程的学习，使学生掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法，并能将数学结果联系物理实际，加深对物理理论的理解，为学习电动力学和量子力学等后继课程打下良好的基础。二、课程教学的基本要求通过本课程的教学,学员应达到下列基本要求:1.掌握复变函数论的基本理论、微分和积分的方法、了解残数及其在积分中的应用2.掌握弦振动方程、热传导方程、电报方程的建模过程3.初步学会确定边界条件和初始条件4.熟练掌握分离变量法、达朗贝尔法、付里叶变换法和拉普拉斯变换法5.了解特殊函数的导出和意义三、学习方法建议学习本课程最基本的方法是课前预习，课后复习，多做习题。针对课前预习时存在的问题，通过上课时认真的学习，并尝试运用上课时所学内容解决这些问题，或者通过课外指导书，仔细研究书中例题，在此过程中搞懂、会做课后习题，从而对课程内容有进一步认识。此外，每章结束后，做好阶段性总结。还要制定学习计划，善于自主学习。学习中，既重视知识的记忆，也重视对知识的反思。此外，为方便大家自主学习，现将教材及参考书罗列如下：（一）教材：《高等数学》（第四册）．四川大学．高等教育出版社（二）参考书：1、《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育出版社，第三版2、《数学物理方法教程》，刘志旺，高等教育出版社3、《数学物理方法学习指导》，姚端正，科学出版社希望各位学员善于这些教参书，能取得一个良好的成绩。课程学习进度安排周次日期学习内容（章节名称、学习的内容提纲）第一周第一章复数与复变函数第二周第二章解析函数第三周第三章哥西定理哥西积分第四周第四章解析函数的幂级数表示4.1函数项级数的基本性质4.2幂级数与解析函数4.3罗朗级数第五周第四章解析函数的幂级数表示4.4单值函数的孤立奇点第六周第五章残数及其应用5.1残数5.2利用残数计算实积分3第七周1-5章复习课第八周第七章一维波动方程的付氏解第九周第八章热传导方程的付氏解第十周第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十一周第十章波动方程的达朗贝尔解第十二周第十三章付里叶变换第十三周第十四章拉普拉斯变换第十四周7-14章复习课第十五周第十五章勒让德多项式球函15.1勒让德微分方程及勒让德多项式15.2勒让德多项式的母函数及其递推公式15.3按勒让德多项式展开第十六周第十五章勒让德多项式球函数15.4连带勒让德多项式15.5拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题第十七周第十六章贝塞耳函数柱函数第十八周15-16章复习课及总复习课课程学习课时分配章次教学内容学时备注第一章复数与复变函数4第二章解析函数4第三章哥西定理哥西积分4第四章解析函数的幂级数表示8第五章残数及其应用4第七章一维波动方程的付氏解4第八章热传导方程的付氏解4第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解4第十章波动方程的达朗贝尔解4第十三章付里叶变换4第十四章拉普拉斯变换4第十五章勒让德多项式球函数8第十六章贝塞耳函数柱函数44第一章复数和复变函数一、章节学习目标1.熟练掌握复数的运算。2.掌握复数的几种表示法及互换关系，能正确地求出复数的实部、虚部、模与辐角，了解共轭复数的性质。3.理解复数的几何意义。4.了解各种区域。5.理解复函的极限与连续。6.知道复函极限存在与连续的充要条件。二、章节重点本部分学习的主要内容包括复数、复变函数的基本概念、复球面与无穷远点三个部分。掌握复数的几种表示方法。分别为以下三种：1.复数的代数表示；2.复数的几何表示；3.复数的指数表示。其中复数的几何表示与指数表示可以使有关复数的运算简化，从而达到能够正确解题的要求。例如计算复数的乘幂及复数的方根时，运用复数的几何表示和指数表示就能快速计算出结果。对复数的运算规则也需掌握，需明确实数中的运算规则在复数中同样是适用的。本部分学习的主要内容还包括复变函数的基本概念。其中所涉及复变函数的极限与连续问题，是首先要了解的。对于复函的极限定义与连续定义需要知道。并且需要知道复变函数极限存在与连续的充要条件，即函数),(),()(yxivyxuzf在点000iyxz连续的充分必要条件是二元实函数),(),,(yxvyxu于),(00yx连续。这是本章的重中之重，一定要掌握它的定义、定理以及应用，对这一部分书本上的例题要会计算。三、章节考试大纲第一节复数复数域复平面复数的模与幅角复数的乘幂与方根第二节区域与约当曲线复变函数的概念复变函数的极限与连续性第三节复球面闭平面上的几个概念四、章节练习题（一）选择题1.z为复数，则（）。Alnz没有意义；Blnz为周期函数；CLnz为周期函数；Dln()lnzz。2．由对数函数的定义有（）。A1212LnzzLnzLnzB22LnzLnz5C1122zLnLnzLnzzD0LnzLnz（二）填空题1.复数1i的幅角为，模为。2．函数zwR，将z平面的图形；以原点为中心，R为半径的圆，变为w平面的图形为。第二章解析函数一、章节学习目标1理解复函的导数的概念、解析函数的概念。2掌握复变函数解析的充要条件，并能应用函数解析的充要条件判别函数的解析性和可导性。3了解解析函数与调和函数的关系；掌握从已知调和函数求出解析函数的方法。4了解指数函数、对数函数、三角函数、幂函数的定义和性质.二、章节重点、要点本部分学习的主要内容包括解析函数的概念及哥西－黎曼条件、解析函数与调和函数的关系、初等解析函数三个部分。知道解析函数的概念，并且要深入掌握哥西－黎曼条件，哥西－黎曼条件是本章内容的重要部分。哥西－黎曼条件为下列公式，记为C－R条件。知道C－R条件后，对函数可微的充分必要条件能更进一步了解。即函数),(),()(yxivyxuzf在点000iyxz可微的充分必要条件是二元实函数),(),,(yxvyxu于),(00yx可微并满足C－R条件。这是本章的重点，要掌握它的定义、定理以及应用。掌握解析函数和调和函数之间的关系。知道任何一个在区域D上解析的函数),(),()(yxivyxuzf，其实部与虚部都是该区域上的调和函数。即满足条件0022222222yvxvyuxu，。对已知实虚部，再求解函数的习题，或已知函数，求实虚部的题要掌握，要学会计算。对于初等解析函数部分，一些基本的解析函数，如幂函数nz，指数函数ze，三角函数sin,cos,zz双曲函数sinh,cosh,zz，等等。它们都可以看成是相应实变函数在复数域中的推广。要掌握,.uvuvxyyx6·如何将相应实变函数推广到复数域·这些函数的解析性·这些函数作为复变函数所特有的性质并且掌握初等多值函数的计算。三、章节考试大纲第一节导数的定义哥西－黎曼条件解析函数的定义第二节共厄调和函数的求法共厄调和函数的几何意义第三节初等单值函数初等多值函数四、章节练习题（一）计算题1.已知1)(,332ifyyxu，求解析函数ivuzf)(。2.设1z，规定0arg(1)2z，求(2),(),(0),()ii。第三章哥西定理哥西积分一、章节学习目标1.掌握复变函数积分的定义、基本性质及计算方法。2.记住并能熟练地运用公式2,10,1nlindznza。3.牢固地掌握哥西定理及其推广定理。4．掌握哥西积分公式及其推广定理。5．掌握解析函数的任意阶导数的存在性。6．熟练地运用哥西积分公式和柯西导数公式计算复变函数的围道积分。7．解析函数在平面场中的应用。二、章节重点、要点本部分学习的主要内容包括复变积分的概念及其简单性质、哥西积分及其推广、哥西积分公式及其推广、解析函数再平面场中的应用四个方面。会计算一般的积分，并且要掌握哥西积分定理，知道哥西定理的使用条件和范围。若函数fz在单连通区域D上解析，C是D内的任意一条分段光滑的围线，则0cfzdz。在运用哥西定理解题的时候，要分清积分路径所包含的范围，注意函数fz在区域D内是否解析。只有当满足所有条件时，才能运用哥西定理。对于哥西定理的推广这一部分的内容是一样的运用原理。此外，书本上例题5也是很重要的内容，通过此例题的结论2,10,1nlindznza也可求积分的值，是很重要的结论。因此需要将此结论深入理解并记住，并将书上例题掌握。7对于哥西积分公式cdzfizf)(21)(可以改写成()2()cfzdzifaza这个公式表明，对于在某界闭域上解析的函数，它在区域内一点的值可用它在边界上的值表示出来。这是解析函数的一个基本性质。借用此公式可以计算某些围线积分。对解析函数在平面场中的应用部分需要掌握复位势的定义概念，并会计算例题。三、章节考试大纲第一节哥西积分的定义及其计算方法复变积分的简单性质第二节哥西积分定理不定积分哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式解析函数的无限次可微性模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节什么叫平面场复位势举例四、章节练习题（一）选择题1．下列积分不为零的是（）。A0.51zdzz；B20.51zdzz；C10.5zdzz；D211zdzz。（二）填空题1.15zdzz。（三）计算题1.计算积分czdzRe，其中积分路径如右图示，（1）C为连结O点到i1点的直线段（2）C为连结O点到1点再到i1点的折线2.计算0cos.xxedxx3.计算积分czdzI12，此处C是2z。8第四章解析函数的幂级数表示一、章节学习目标1.了解在复数范围内级数及级数的收敛、发散、绝对收敛、一致收敛及有关性质，会使用收敛判据。2.正确确定幂级数的收敛半径，并了解幂级数的性质。3.掌握泰勒级数与解析函数的关系及泰勒展开的方法。4.掌握罗朗级数与奇点存在的关系。5.罗朗级数展开的方法。6.理解其收敛半径与孤立奇点的关系。7.孤立奇点的类型。8.精确地判断孤立奇点的类型，掌握其特点。二、章节重点、要点本部分学习的主要内容包括函数项级数的基本性质、幂级数与解析函数、罗朗级数、单值函数的孤立奇点四个方面。了解幂级数与解析函数的关系，知道解析函数可以表示成幂级数。根据解析函数的解析范围，有两种展开方法可将解析函数表示成幂级数。(一)泰勒定理设fz在区域D内解析,aD，只要圆:KzaR含于D内，则fz在K内能展成幂级数0()()nnnfzcza，其中系数()(),0,1,2,,!nnfacnn并且展式是唯一的，此展式称为是fz在a点的泰勒展式，这样确定的系数称为泰勒系数。可通过上述定理将一个解析函数展开成幂级数。泰勒展开总结：1、泰勒级数在解析圆域内进行展开。2、展开式是唯一的，可用各种方法展开。3、展开式在其可展区域内是收敛的。（二）罗朗定理在圆环:(0,)HrzaRrR内的解析函数fz必可展成级数()()nnnfzcza其中11(),0,1,2,2()nnfcdnia称为罗朗系数,右边的级数称为罗朗级数。为圆周arR，并且展式是唯一的,即fz及圆环H唯一地决定了系数nc。罗朗级数展开总结1、罗朗级数在孤立奇点的一个环域内进行展开。2、展开式是唯一的，可用各种方法展开。93、展开式在其可展区域内是收敛的。4、展开式一般是一个双边级数。上述两种方法都可以将解析函数展开为幂级数，但是有所差异，要明白两者之间的差异。能正确地判断孤立奇点的类型，掌握其特点。三、章节考试大纲第一节数项级数一致收敛的函数项级数第二节幂级数的敛散性解析函数的幂级数表示第三节双边幂级数的收敛圆环解析函数的罗朗展式罗朗展式举例第四节孤立奇点的三种类型可去奇点极点本性奇点解析函数