一般有限元原理

一般有限元原理一、基本理论有限元单元法是数值计算方法中发展较早、应用最广的一种方法。利用有限元法，可以解决经典的传统的方法难以解决或无法求解的许多实际问题。其优点是部分地考虑边坡岩土体的非均质、不连续的介质特征，考虑岩土体的应力应变特征，可以避免将坡体视为刚体，过于简化边界条件的缺点，能够接近实际从应力应变的角度分析边坡的变形破坏机制。对了解边坡的应力分布及应变位移变化很有利。有限单元法实质是变分法的一种特殊的有效形式，其基本思想是：把连续体离散化为一系列的连接单元，每个单元内可以任意指定各种不同的力学形态，从而可以在一定程度上更好地模拟地质体的实际情况，特殊的节理元，可以有效地模拟岩土体中的结构面。在大多数情况下岩土体材料应采用非线形模型，其中包括岩体弹塑性、蠕变、不抗拉特性以及结构面性质的影响。下面简要叙述有限元法的求解过程和原理。有限单元法的基本原理1.有限单元法的实施步骤有限元的重要步骤归纳起来，主要有以下几步：（1）建立离散化的计算模型，包括以一定型式的单元进行离散化，按照求解问题的具体条件确定荷载及边界条件；（2）建立单元的刚度矩阵；（3）由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵，并建立系统的整体方程组；（4）引入边界条件，解方程组，求得节点位移；（5）求各单元的应变、应力及主应力。2位移模式与单元类型在一般的有限单元法问题中，我们常以位移作为未知数，称为位移法。为保证解的收敛性，要求位移模式必须满足以下三条：（1）位移模式必须能包含单元的刚体位移。即当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。（2）位移模式必须能包含单元的常应变，即与位置坐标无关的那部分应变。（3）位移模式在单元内要连续，并使相邻单元间的位移必须协调。同时，还要求所选的位移模式与局部坐标系的方位无关，即具有几何各向同性。对于线形多项式，各向同性的要求通常就等价于必须包含常应变状态，对于高次模式，就是位移模式不应随局部坐标的更换而改变。对于常应变三角形单元，其位移模式十分简单。这里以常用的四边形等参数单元为例。等参数单元的概念已普遍地应用于有限单元公式中。“等参数”这个术语意味着单元的未知位移和几何形状有着共同的参数表述，其基本思想使用同样的内插函数N来表达单元的位移和几何形状。如果把单元中点的位移表示为：}]{[}{qNu在等参概念中，用同样的函数N来表示单元中某点的坐标}]{[}{nxNx式中，],[}{yxxT，],,[}{21xxxTn由节点坐标所构成。先以四节点的四边形等参元为例，为了便于积分运算，采用了自然坐标系。这种局部坐标以四边形两对中线连线为坐标轴，坐标原点为0，单元节点的坐标值为±1。由此采用线性插值方法给出函数为1111141N其中，1，1为四边形各节点的局部坐标值，插值函数iN在节点I处应等于1，在其他节点处应等于0。3单元刚度矩阵的建立对于二维应力－应变问题来说，单元上的每个节点有两个自由度，x方向的位移u和y方向位移v，在矩阵记号中],[}{vuuT图1.1任意四边形等参数单元ξ=-1η=-14ξ=-123ξ=1η=1ηξη=-12ξ=1η=14η3ξ用节点位移表示就可以写作}{u=4433221100000000NNNNNNNN}{q此处iN有上面方程给出，而，44332211}{vuvuvuvuqT单元的几何形态可用同样的[N]表示为Tyxx}{}{=][]0[]0[][NN}{nx此处43214321}{yyyyxxxxxTn，在平面应变条间下的应变位移关系为}]{[////}{}{qByuxuyuxuTxyyx式中B可有N的某种适当求导而得][BxNyNyNxNxNyNyNxNxNyNyNxNxNyNyNxN434433332222111100000000以及][iB=xNiyNiyNixNi00下面使用变分法来推导单元的刚度方程。位移法得变分泛函系统的势能p可以表示为p＝11)()(),(dsuTuTduuYuXvuduSyxVV式中),(vudu――单位体积的应变能；X、Y――规定的体积力分量，即物体的重量；xT、yT――规定的表面牵引力；V――单元体积；1S---有规定牵引力作用的曲面。根据材料是线性的假设，利用弹性理论的结果，将du表示为dVduT21此处，Txyxx}{为应力分量向量。利用广义虎克定律，应力--应变关系是}]{[}{D式中，}{D为应力－应变矩阵，对于各向同性线弹性材料来说，它有一对参数构成，这对参数为杨氏模量E和泊松比，或为体积模量K和剪切模量G或为拉梅常数和。考虑各向同性线性弹性性状，方程p＝11)()(),(dsuTuTduuYuXvuduSyxVV变为p＝11}{}{}){}{2}}{{}({21dsTudVxuDSTVTT式中，TZYXx}{}{，zyxTTTT分别是体力和表面牵引力向量。将Txyyx=Tyuxuyuxu////=qB代入方程上式得：p＝11}{][}{})]{[}{2}]{][[][}({21STTVTTTdsTNqdVxNqqBDBq对节点位移取p得一级变分，以及引用最小势能原理，从而得到0pQqK此式对于四边形等参单元来说有hKdsdtJBDBT1111]][[][hqdsdtJxNT1111][][+11}{][sTdsxN式中，J――雅克比矩阵J的行列式，导出整体坐标与局部坐标之间的关系。iiTiiNNJyNxN1，4,3,2,1I1J＝4J=yxyx＝ininjjijiiyNNNNx11)(h为单元的等厚度常数。对于平面应变情形来说，取1h，因此，对于平面问题，图1给出的四边形等参单元的刚度矩阵就可以写成eK4＝ddJBDBT1111]][[][上式的积分在程序中用高斯积分实现。相同的推导，可以得到常应变三角形单元的刚度矩阵eK3＝ddJBDBT1111]][[][对于D及B为常量的常应变三角形单元有tBDBKTe3式中――三角形单元面积t――单元厚度4.非线性有限元法的求解岩土工程问题大都为非线性问题，应力应变关系呈非线性状态，非线性算法是有限元解题步骤中非常重要的一步。求解非线性问题的方法可分为三类：增量法、迭代法和混合法。这里主要介绍迭代法，迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐步修改位移和应变，使之满足非线性的应力应变关系，即荷载也划分为若干增量，而对每一个荷载增量进行迭代计算。迭代法又称牛顿法，这种方法的特点是全部荷载一次施加，逐步调整位移进行迭代，最终使方程得到满足。这里主要介绍牛顿法和修正牛顿法。(1)牛顿法由非线性方程PuuK)(出发，从初始刚度0K求得位移}{1u，PKu101(4-12)由}{1u求得}{u，由}{1u从uP曲线上求得割线刚度][1K，再由PuuK)(1求得}{u的第二次}{2u，如此重复计算，直到}{1u与}{1iu充分接近，使得uiuu11，即给定精度为止，这一过程可由表示，这种方法收敛快，但每一次迭代都要形成新的刚度矩阵，计算量较大。(2)修正牛顿法对上述方法的一种修正是每一步迭代步骤均采用初始刚度0K，迭代方程可写为10iiPPuK(4-13)iiiuuu1收敛准则为1iiuu。由图不难理解这种方法的迭代计算过程。这种方法迭代次数多，但因省去重新计算刚度矩阵的时间，速度比一般牛顿法要快。σpσe232ΔεeΔεpεk0D0σ(c)(b)(a)图1.3迭代法原理