福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学理试题

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合310Axxx，10Bxx，则AB（）A．1,3B．1,C．1,D．,11,2.若复数1ai的模为22，则实数a（）A．1B．1C．1D．23.下列函数为偶函数的是（）A．tan4yxB．2xyxeC．cosyxxD．lnsinyxx4.若2sincos12xx，则cos2x（）A．89B．79C．79D．7255.已知圆锥的高为3，它的底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）A．83B．323C．16D．326.已知函数22,0,11,0,xxxfxxx则函数3yfxx的零点个数是（）A．0B．1C．2D．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的,ModNmn表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如10,31Mod.执行该程序框图，则输出的i等于（）A．23B．38C．44D．588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．14B．1042C．21422D．2134229.已知圆221:582Cxy，抛物线2 :20Expyp上两点12,Ay与24,By，若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的标准方程为（）A．12xB．1yC．12yD．1x10.不等式组1,22xyxy的解集记为D.有下列四个命题：1:,,22pxyDxy2:,,23pxyDxy32:,,23pxyDxy4:,,22pxyDxy其中真命题的是（）A．23,ppB．14,ppC．12,ppD．13,pp11.已知双曲线2222:10,0axyEabb的左、右焦点分别为12,FF，点,MN在E上，12122//,5MNFFMNFF，线段2FM交E于点Q，且2FQQM，则E的离心率为（）A．5B．15C．23D．1012.设数列na的前n项和为nS，121nnaan，且1350nS.若22a，则n的最大值为（）A．51B．52C．53D．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量,ab满足22aab，则,ab的夹角为．14.设n为正整数，32nxx展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为．15.将函数2sincosyxx的图象向右平移个单位长度，得到函数2sincosyxx的图象，则sin的值为．16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ，O为半圆的圆心，85MN.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN上，则裁出三角形面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列na中，*12111,2,322,nnnaaaaannN.设1nnnbaa.（1）证明：数列nb是等比数列；（2）设2412nnnbcn，求数列nc的前n项的和nS.18.已知菱形ABCD的边长为2，60DAB.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.（1）若CDE的面积为32，求DE的长；（2）若74CFDF，求sinDFC.19.如图，在四棱锥EABCD中，//,90,224ABCDABCCDABCE，120,25BCEDE.（1）证明：平面BCE平面CDE；（2）若4BC，求二面角EADB的余弦值.20.已知F为椭圆22:143xyC的右焦点，M为C上的任意一点.（1）求MF的取值范围；（2）,PN是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为34，证明:,MN两点的横坐标之和为常数.21.已知函数221lnfxxaxaxaR.（1）讨论函数fx的单调性；（2）若0a且0,1x，求证：211xfxxex.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线cos,:sinxtCy（为参数，0t）.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos24l.（1）若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；（2）若曲线C上存在点到l距离的最大值为1622，求t的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数1,fxxxR.（1）求不等式31fxfx的解集；（2）已知关于x的不等式1fxfxxa的解集为M，若31,2M，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BCBCB6-10:CADCA11、12：BA二、填空题13.12014.11215.4516.338三、解答题17.解：（1）证明：因为*11322,nnnaaannN，1nnnbaa，所以111211132nnnnnnnnnnnaaabaabaaaa1122nnnnaaaa，又因为121211baa，所以数列nb是以1为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知11122nnnb，因为2412nnnbcn，所以2412nnnbcn11112212142121nnnn，所以12111111143352121nnScccnn111421n42nn.18.解：解法一：（1）依题意，得60BCDDAB，因为CDE的面积32S，所以13sin22CDCEBCD，所以132sin6022CE，解得1CE，根据余弦定理，得222cosDECDCECDCEBCD2212122132.（2）依题意，得3060ACDBDC,，设CDE，则060，在CDE中，由正弦定理得sinsinCFDFACD，因为74CFDF，所以2sin27CFDF，所以3cos7所以1332321sinsin30221477DFC.解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得3060ACDBDC,，设CDE，则060，在CDF中，设4CFx，因为74CFDF，则7DFx，由余弦定理，得2222DFCDCFCDCFcosACD，得22741683xxx，解得239x，或233x.又因为132CFAC，所以34x，所以239x，所以2219DF，在CDF中，由正弦定理，得sinsinCDDFCFDACD，得2sin30321sin142219CFD.19.解：（1）证明：因为//,90ABCDABC，所以CDBC.因为42,25CDCEDE,，所以222 CDCEDE，所以CDCE，因为BCCEC，所以CD平面BCE.因为CD平面CDE，所以平面BCE平面CDE.（2）由（1）知，CD平面BCE，故以点C为坐标原点，分别以CBCD、的方向为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.所以4,0,2,400,1,3,0,0,0,4ABED，，，所以4,0,2,5,3,2ADAE，设平面ADE的法向量为,,nxyz，则00ADnAEn，所以4205320xzxyz，取1x，则1,33,2n，又因为平面ABD的一个法向量为0,1,0m，所以23336cos,811334nm，所以二面角EADB的余弦值为368.20.解：解法一：（1）依题意得2,3ab，所221cab，所以C的右焦点F坐标为1,0，设C上的任意一点M的坐标为,MMxy，则22143MMxy，所以2222231134MMMMMFxyxx221124444MMMxxx，又因为22Mx，所以219MF，所以13MF，所以MF的取值范围为1,3.（2）设PMN、、三点坐标分别为,,,,,PPMMNNxyxyxy，设直线PMPN、斜率分别为12kk、，则直线PM方程为1PPyykxx，由方程组2211,43PPxyyykxx消去y，得2222211111348484120PPPPPPkxkkxyxkxkxyy，由根与系数关系可得1121834PPMPkkxyxxk，故21111221184833434PPPPPMPkkxykxkyxxxkk，同理可得2222834PPNPkkxyxxk，又1234kk，故22112221338844343344PPPPNPxykkxykkxxkk1216843PPxkyk，则1216843PPNPxkyxxk2112148334PPPMkxkyxxk，从而0NMxx.即MN、两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得2,3ab，所221cab，所以C的右焦点F坐标为1,0，设C上的任意一点M的坐标为,MMxy，设C上的任意一点M的坐标为2cos,3sin，则22222cos13sincos2MF，又因为1cos1，所以219MF，所以13MF，所以MF的取值范围为1,3.（2）设PM、两点坐标分别为,,,PPMMxyxy，线段PMPN、的中点分别为EF、，点E的坐标为,EExy，直线PMPNOE、、的斜率分别为123kkk、、，由方程组22221,431,43PPMMxyxy得222234PMPMyyxx，所以34PMPMPMPMyyyyxxxx，所以2324PMEPMEyyyxxx，所以1334kk，又因为1234kk，所以23kk，所以//PNOE，所以MN的中点在OE上，同理可证：MN的中点在OF上，所以点O为线段MN的中点.根据椭圆的对称性，所以MN、两点的横坐标之和为常数.21.解：解法一：（1）函数fx的定义域为0,，2222111212axaxaxaxfxaxaxxx，①若0a时，则0fx，fx在0,上单调递减；②若0a时，当1xa时，0fx；当1xa时，0fx；当 1xa时，0fx.故在10,a上，fx单调递减；在1,a上，fx单调递増；③若0a时，当12xa时，0fx；当12xa时，0fx；当12xa时，0fx.故在10,2a上，fx单调递减；在1,2a上，fx单调递増.（2）若0a且