消费者选择理论及其发展（PPT122页)

第三章消费者选择理论及其发展主要学习内容：消费集与预算集效用最大化问题支出最小化问题效用最大化与花费最小化之间的关系消费者的福利问题显示偏好公理引言消费者作为基本决策单位时的选择情况。（1）消费者决策问题的基本要素。商品:用消费集刻画消费者选择受到物理的和经济的约束:用瓦尔拉斯预算集表示。（2）受这些约束条件制约的消费者决策被归结为消费者的瓦尔拉斯需求函数,有时归结为消费者的选择规则。分析比较静态的性质:财富效应价格效应。商品集商品向量可以视为商品空间上的一个点。又称着消费向量或消费束。商品的含义：应广义化理解商品数量是有限的，用l＝1，2，···，L商品向量1•••Lxxx消费集消费集是商品空间RL上的一个子集，表示为,其元素为个人在他所处的环境强加给他的物理约束给定的情况下可能消费的消费束。最简单的形式是消费集是所有非负的商品束构成的集合，表示为LXR0,,1:lLLxLlRxRX，对于LR消费集的一个重要特征:凸性闲暇小时面包X248物理约束的含义竞争性预算消费者面临的经济约束：他的消费选择被限定在那些他能够支付的商品束上。给定两个假设：（1）市场的完备性或统一性假设所有L种商品均在市场上可以定价,进行交易。如果市场的完备性或统一性，···LRp，且假定对于每一个l，均有0＞lp，有表示为0p1,,Lppp（2）价格接受假设:即消费者对任何商品的需求都只占对该种商品的总需求的很小一部分，这些商品的价格不受消费者的影响。经济约束或一个消费者的可支付性取决于两个因素：市场价格和消费者的财富水平。如果，则该消费束便是可支付的。wxpxppxLL11定义瓦尔拉斯预算集或竞争性预算集：是由面临市场价格和财富水平的消费者的所有可行消费束构成的集合。因此，给定市场价格和财富水平，消费者问题可以表述为：在中选择一个消费束wpxRxBLwp:,wpB,wpB,wpxRxBLwp:,w/p2x2预算超平面（L＝2时，称预算线）瓦尔拉斯预算集的特征是凸性的。取决于消费集的凸性。效用最大化问题下文始终假设消费者有理性的、连续的、局部非饱和的偏好关系，且把效用函数当作代表偏好关系的一个连续效用函数。本章还始终假设消费集为LRX。效用最大化问题（UMP）：消费者在给定0p和0w的情况下，选择其最偏好的消费束max()..uxstpxw命题若p0，且u(·)是连续的，则效用最大化问题有一个解。瓦尔拉斯需求对应/函数在UMP中，赋予每一个价格—财富状况0),(wp的最优消费向量集的规则被表示为LRwpx),(，并被称为瓦尔拉斯（或序数、或市场）需求对应。当),(wpx对于所有),(wp都是单值的时，把它称为瓦尔拉斯（或序数、或市场）需求函数。2x●yxyRyL:zaay)1(●●x●z1x非凸偏好（非凸上等集）●x●x’’●x’x2x1x:u(x)=u*偏好的凸性蕴含着x(p,w)的凸性●x’’x:u(x)=u*单一解x2x1●x’●x偏好的严格凸性意味着x(p,w)是单值的如果U(·)是连续可微的，则最优消费束(,)xxpw，可以通过库恩－塔克条件得出：存在一个拉格朗日乘子0，使得对于所有1,,lL：()luxpx，若0x，则等式成立等价地，如果令1Lu(x)u(x)u(x)=[,,]xx代表u(·)在x的梯度向量，则有：u(x*)p。如果有内点解，则有u(x*)=p。或者说：消费者效用函数的梯度向量必须与价格向量成比例：klklppxxuxxu)()(，或商品l对商品k的边际替代率等于两者的边际交换率（价格之比）。否则，消费者就可以通过边际地改变他的消费来改善自己的状况。拉格朗日乘子的一般性质：等于在最优点上消费者的财富的边际效用价值（财富边际增加引起的效用变化），即：ppwxxxull1)(。或w1Lu(x(p,w))Dx(p,w)x(p,w)x(p,w)=u(x(p,w))[,,]ww1pp＝间接效用函数对于每个0),(wp，UMP的效用值表示为Rwpv),(。对于任何),(wpxx，它),(wpv都等于)(xu。函数),(wpv被称为间接效用函数。L+xR(,)=maxu(x)s.t.pxwvpw有：(,)=u(x(p,w))vpw为什么叫间接效用函数？因为表达式的效用只是价格和财富水平的函数。如果知道了消费者的收入水平和外在的相对价格水平，以及它们的变化状况，如果让消费者自己求解其效用最大化的问题，即可知道效用最大化点在何处。政策含义是：控制价格政策和收入政策，可以控制消费者的行为。对于每个0),(wp，UMP的效用值表示为Rwpv),(。对于任何),(wpxx，它),(wpv都等于)(xu。函数),(wpv被称为间接效用函数。罗伊恒等式：如果v(p,w)在（p0,w0）处可微，且00v(p,w)0w，那么000000(,)(,)-,1,,(,)iivpwpxpwiLvpww证明：有拉格朗日函数L(x,)=u(x)+(y-px)，令x*=x(p,w)0为解，因此，存在一个*R，使得下列式子成立：*iiiv(p,w)L(x*,*)==-*xpp，又v(p,w)*w＝，从而得证。支出最小化问题在p0,u(x)u(0)条件下，minpxs.t.u(x)≥uUMP计算的是在给定财富水平下所能达到的最大效用水平。而EMP计算的则是为了达到效用水平所需的最小财富水平。EMP是UMP的对偶问题对于每个0),(wp，UMP的效用值表示为Rwpv),(。对于任何),(wpxx，它),(wpv都等于)(xu。函数),(wpv被称为间接效用函数。支出函数给定价格0p及要求达到的效用水平)0(uu的,EMP的值表示为),(upe。函数),(upe为支出函数(,)min{:(),0}epupxuxux命题3.F.2假定)(u是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集LRX上的局部非饱和的偏好关系，则支出函数),(upe：（1）在p上是一阶齐次的。（2）在u上是严格递增的，且对于任意l，它在lp上都是非递增的。（3）在p上是凹的。（4）在p,u上是连续的。证明，图******(,)min..()(,)[-()](,)()-0(,)(,)0()(,)(,)(,)LxRiiiiiiepupxstuxuLxpxuuxLxuxpxxepuLxuuShephardepuLxxhpupp谢泼德引理支出函数与间接效用函数之间的重要联系：对于任意0p，0w及)0(uu，我们有：wwpvpe)),(,(和uupepv)),(,(这意味着，对于一个给定的价格向量p，).(pe和),(pv是互逆的。希克斯（或补偿）需求函数EMP中的最优商品向量集表示为LRuph),(，它被称为希克斯或补偿需求对应，如果是单值，则被称为希克斯或补偿需求函数。2xp),(uphpuxuRx)(:2),('uph1x希克斯（或补偿）需求函数p’1=p1p’2p2命题3.E.3假定)(u是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集LRX上的局部非饱和的偏好关系，则对于任意0p，希克斯需求对应),(uph具有下述性质：（1）在p上具有零阶齐次性：任意给定p,u和标量0a，有),(),(uphuaph。（2）没有超额效用：任意给定),(uphx，有uxu)(。（3）凸性/唯一性：如果是凸的，则),(uph是一个凸集，而且，如果是严格凸的，从而)(u是严格拟凹的，则),(uph有唯一的一个的元素。希克斯需求对应与瓦尔拉斯需求对应之间的关系：)),(,(),(wpvphwpx),(,(),(upepxuph前者解释了为什么用补偿需求对应这一术语来描述),(uph：当价格变化时，如果消费者的财富也同时作相应的调整，以使它的效用水平保持在u的话，则),(wph恰好给出了相应的需求水平的变化。财富变化被用以“补偿”价格的变化（Varian）。这一类型的财富补偿，称为希克斯财富补偿。2x1'1pp2'2ppwpB,●),(),(uphwpx)),(,(),(),(''''upepxwwpxuphHickswpB,'●xxuRx)(:2lHickspw1x希克斯财富补偿的含义：弱公理●●x2x1p’1=p1p’2p2斯拉斯基财富补偿：弱公理瓦尔拉斯需求函数希克斯需求与补偿需求法则希克斯需求的一个重要性质是它满足补偿需求法则：对于那些伴随着希克斯财富补偿的价格变化，需求和价格将成相反的方向变化。命题3.E.4假定)(u是一个连续效用函数，它代表了一个局部非饱和的偏好关系，并且对于所有0p，),(uph由单一的元素组成，则希克斯需求函数),(uph满足补偿需求法则：对于所有'p和''p，有：0)],(),([)(''''''uphuphpp（3.E.5）一个直接的含义：对于补偿需求而言，自价格效应是非正的。证明：对于任意p0，消费束h(p,u)在EMP中是最优的，因而它在价格为p时所对应的支出比任何其他提供至少为u的效用水平的消费束所对应的支出更小。所以，我们有：''('',)''(',)'('',)'(',)phpuphpuphpuphpu将这两个不等式相减便可得出结果。对于补偿需求而言，自价格效应是非正的，即只有一种商品价格变化，有(''-')[('',)-(',)]0llllpphpuhpu但是，该结论对于瓦尔拉斯需求而言则不成立。如吉芬商品的需求可能随着它的价格下降而减少。需求、间接效用及支出函数的关系假定)(u是一个连续效用函数，它代表了局部非饱和的偏好关系。关注于0p的情形，并简化起见，假定偏好关系是严格凸的，从而瓦尔拉斯需求和希克斯需求，即),(wpx和),(uph都是单值的。希克斯需求和支出函数支出函数),(),(uphpupe谢泼特（Shephard）引理假定)(u是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集LRX上的一个局部非饱和的和严格凸的偏好关系。对于所有p和u，希克斯需求是支持函数对价格的导数的向量，即),(),(upeuphp。也就是说，对于所有Ll,,1，均有llpupeuph),(),(。(,)[(,)](,)[(,)]ppTpepuphpuhpupDhpu将EMP的内点解的一阶条件xp=u(h(p,u))代入，得(,)(,)[((,))(,)]TpxpepuhpuuhpuDhpu但由于在EMP中，约束((,))uhpuu对所有p均成立，所以我们知道，((,))(,)=0xpuhpuDhpu，从而就有了原结论。含义：如果我们处在EMP中的一个最优点上，在价格变化引起的需求变化对消费者的支出没有一阶影响。在证明中，价格变化的总效应分解为两种效应：在需求不变的情况下价格变化对支出的直接影响（h(p,u)），以及在价格不变的情况下引致的需求变化对支出的间接影响(为零)。希克斯需求函数和瓦尔拉斯需求函数虽然希克斯需求函数不是直接可观测的（消费者的效用水平作为自变量），但是可以从可观测的瓦尔拉斯需求函数（它的自变量原则上都是可观测的）中计算出来。这是斯拉斯基方程的结果。命题3.G.3（斯拉斯基方程）假定)(u是一个连续函数，它代表了定义在消费集LRX上的一个局部非饱和的和严格凸的偏好关系；则对于所有),(wp和),(wpvu，我们有：任意给l，k，),(),(),(),(wpx