2019-2020年中考数学专题复习二次函数

2019-2020年中考数学专题复习二次函数一、二次函数的图像与性质一般式：)(02oacbxaxy的对称轴为，顶点坐标为。注意以下几点：（1）a决定开口方向和抛物线的形状，a越大，开口越小，其中：当0a时，函数图像开口，有最值，图像左右；当0a时，函数图像开口，有最值，图像左右。（2）对称轴abx2的位置与ba,的关系：“左同右异”，即ba,符号相同，则对称轴在y轴的左边；ba,符号相反，则对称轴在y轴的右边。（3）c决定抛物线与y轴的交点的位置：0c时，交点位于；0c时，交点位于.（4）特殊值：当1x时，cbay；当时，cbay；当时，cbay24；当时，cbay24；当时，cy.【基础练习11.122xxy的对称轴为，顶点坐标是，与y轴的交点是，当x的取值范围是时，y值岁x的增大而增大。2．函数6422xxy开口，有最值，对称轴为，顶点坐标是，与y轴的交点为。3．)(02oacbxaxy的图像如图1所示，则a0，b0，c0.yox图1X=1图24.抛物线)0(2acbxaxy的图像如图2所示，对称轴为直线1x，则下列结论正确的是（）①042acb②0abc③0ca④039cba⑤0cba⑥024cba⑧08ca二、二次函数的平移与翻折向上平移k（k0）个单位向下平移k（k0）个单位)0(2aaxy)0(2akaxy（上）)0(2akaxy（下）)0()(2ahxay（左）)0()(2ahxay(右)向右平移h（h0）个单位向左平移h（h0）个单位向上平移k（k0）个单位向下平移k（k0）个单位)0()(2akhxay（上、左）)0()(2akhxay（下、右）向右平移h（h0）个单位向左平移h（h0）个单位注意：1.平移口诀：上加下减，左加右减。2.抛物线平移和翻折前后，图形的形状、大小不变，因此a不变。【基础练习25.抛物线2)1(2xy开口，对称轴是，顶点坐标是；当时，y随x的增大而减小；当x时，有最值，且为.6.把抛物线22xy向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的解析式为.7.把抛物线2)1(32xy先向右平移4个单位，再向下平移5个单位后的解析式为.8.已知抛物线2)3(2xay经过点（1，-2），则a=.9.把二次函数7)2(32xy的图像沿x轴翻折后的函数关系是，若二次函数与y轴的交点为A，将二次函数绕A点旋转180º后的函数关系式是.三、二次函数与一元二次方程1.抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数的关系（1）当042acb时，方程)0(02acbxax有的实数根，此时，抛物线)0(2acbxaxy与x轴有个交点；（2）当042acb时，方程)0(02acbxax有的实数根，此时，抛物线)0(2acbxaxy与x轴有个交点；（3）当042acb时，方程)0(02acbxax实数根，此时，抛物线)0(2acbxaxy与x轴交点.2.通过一元二次方程求抛物线与x轴的交点)0(2acbxaxy中，令0y，则02cbxax。若02cbxax的解为21,xx，则抛物线与x轴的交点的横坐标分别为21,xx，此时，二次函数cbxaxy2可化为21xxxxay的形式。【基础练习310.若二次函数122xkxy与x轴只有一个交点，则k。11.已知二次函数mxxy32与x轴有一个交点A（1，0），则关于x的一元二次方程032mxx的根为.12.二次函数322xxy与x轴的交点坐标为.13.已知二次函数mxamxay2（ma,为常数且0a）.证明：不论ma,为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点.四、二次函数解析式的交点式、对称性若抛物线与x轴的交点的横坐标分别为21,xx，此时，二次函数可设为21xxxxay的形式，即为交点式。，其中对称轴就为221xxx.【基础练习414.已知二次函数14xxay，则对称轴为.15.已知抛物线与x轴的一个交点为（-2,0），对称轴为直线1x，则抛物线与x轴的另一个交点为.16.已知点00,5,,1-yByA在抛物线上，则此抛物线的对称轴为.五、待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式，要根据给定的条件的特点选择合适的方法来求解。常见的有以下几种：1.一般式：cbxaxy2，特点：给定三个点的坐标，或给定任意三个条件.2.顶点式：khxay2，特点：已知顶点坐标或对称轴或最大（小）值.3.交点式：21xxxxay，特点：给定抛物线与x轴的交点，或交点的横坐标。【基础练习517.已知抛物线cbxxy2经过点0,1),0,3(BA，求抛物线的解析式及顶点坐标.18.已知抛物线顶点为0,1P，且过点（0，41），求抛物线的解析式.19.已知抛物线过3,0,0,1BA两点，对称轴为直线1x，求抛物线的函数关系式.20.已知抛物线的图像过点（-1,2），（0,1），（2,1），求抛物线的解析式.六、二次函数与一次函数的交点、一次函数被二次函数所截的线段长及中点1.求两个函数的交点坐标就是求由这两个函数组成的方程组的解；2.若两函数的交点坐标为2211,,,yxByxA，则线段AB的长为221221yyxxAB，线段AB的中点坐标为2,22121yyxx【基础练习621.二次函数12xy与直线42xy的交点坐标为.22.二次函数122xxy与直线2y相交于点A、B，则AB=.23.抛物线22xxy与直线1xy交于点A、B，则线段AB的中点坐标为，线段AB的长为.七、二次函数的最值1.利用对称性球最值；2.利用二次函数顶点坐标求最值.若顶点不在自变量的取值范围内，则利用图像的增减性求最值。【基础练习724.已知抛物线342xxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。点P为对称轴上的一个动点，求△APC的周长的最小值.25.二次函数122xy的顶点为D，与y轴交于C点。在x轴上是否存在一点P，使PC+PD最短？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.26.已知抛物线cbxaxy2的图像与x轴的一个交点为B（5,0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0,5）.（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在BC下方图像上的动点，过点M作MN平行于y轴，交BC于点N，求MN的最大值；（3）△MBC是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.2019-2020年中考数学专题复习动态综合试题0动态综合型试题是近年来各级各类考试命题的热点和焦点，她集多个知识点于一体，综合性高，探究型强.解决这类问题的主要思路是：在动中取静，在静中探动，也就是用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变量、不变关系和特殊位置关系.点动型例1（2015·凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图1所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），当EP＋BP最短时，点P的坐标为______.图1分析：点B的对称点是点D，如图2，连接ED交OC于点P，易知ED的长度即为EP＋BP的最短值.图2解：如图2，连接ED，因为点B的对称点是D，所以DP＝BP，所以ED的值即为EP＋BP的最短值.因为四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，所以点D的坐标为（1，3），所以点C的坐标为（3，3），所以可得直线OC的解析式为xy33.因为点E的坐标为（0，－1），所以可得直线ED的解析式为131xy.因为点P事直线OC和直线ED的交点，所以点P的坐标为方程组13133xyxy的解，解方程组可得32332yx，所以点P的坐标为（32-3,2-3），故填（32-3,2-3）.评注：本题中的变量是EP＋BP的值，不变量是点B与点D的位置关系，借助菱形的对称性将EP＋BP的值转化为ED的值，由“两点间线段最短”即可知道此时EP＋BP的值最短，将变量转化为不变量是解决运动型问题常用的解题思路.跟踪训练：1.（2015·贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP、OM.若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（）A.0B.1C.2D.3第1题图第2题图2.如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是______.线动型例2如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）.平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）.（1）点A的坐标是______,点C的坐标是_____；（2）当t=_____秒或____秒时，MN=21AC；（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）在（3）中得到的函数S有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由.图3分析：（1）根据B点的坐标即可求出A、C点的坐标；（2）当MN=21AC时，有两种情况：①Mn是△OAC的中位线，此时OM＝21OA＝2，因此t＝2；②当MN是△ABC的中位线时，OM＝23OA＝6，因此t＝6；（3）本题要分类讨论：①大直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，可根据△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t之间的函数关系式；②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，可用矩形OABC的面积-△BMN的面积-△OCN的面积-△OAM的面积求得；（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值.解：（1）A（4，0），C（0，3）；（2）当MN=21AC时，有两种情况：①Mn是△OAC的中位线，此时OM＝21OA＝2，因此t＝2；②当MN是△ABC的中位线时，AM＝21AB＝23，OA＝4，AD＝4323tanEDOAM＝2，所以OD＝OA＋AD＝4＋2＝6，故t＝6；（3）当0＜t≤4时，OM＝t，因为△OMN∽△OAC，所以OCONOAOM，所以ON＝43t，S＝283t.当4＜t＜8时，如图4，因为OD＝t，所以AD＝t-4，由△DAM∽△AOC，可得AM＝443t，所以BM＝6-t43；由△BMN∽△BAC，可得BN＝34BM＝8-t，所以CN＝t-4，所以S＝矩形OABC的面积-Rt△BMN的面积-Rt△OCN的面积-Rt△OAM的面积＝12-23（t-4）-21（8-t）（6-t43）-23（t-4）＝-283t＋3t；图4（4）有最大值，当0＜t≤4时，因为抛物线S＝283t的开口向上，在对称轴t＝0的右边，S随t的增大而增大，所以当t＝4时，S可取到最大值83×42＝6；当4＜t＜8时，因为抛物线S＝-283t＋3t的开口向下，顶点是（4，6），所以S≤6.综上所述，当t＝4时，S有最大值6.评论：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿，解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系.跟踪训练：1.如图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设