矩阵的特征值与特征向量

第五章矩阵的特征值与特征向量在经济理论及其应用中常要求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论2引言•纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An(lEn)=lAn．•矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠BA．•数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．•Ax=lx?例：34003422,123002311l一特征值与特征向量定义:非零列向量X称为A的对应于特征值l的特征向量定义6设A是n阶矩阵如果对于数l，存在n维非零列向量X,使AXlX成立则称l为方阵A的一个特征值nnnnnnnnxxxxxxaaaaaaaaa...........................2121212222111211l第一节矩阵的特征值与特征向量p117AXlXnnnnnnnnxxxxxxaaaaaaaaa...........................2121212222111211l0)(XAIl0...00........................21212222111211nnnnnnnxxxaaaaaaaaalll如何求特征值和特征向量?即齐次方程有非0解齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0即|lIA|0(2)|lIA|0称为方阵A的特征方程二特征多项式与特征方程定义设A为n阶方阵(1)f(l)|lIA|称为方阵A的特征多项式nnnnnnaaaaaaaaafllll.....................)(212222111211即0.....................212222111211nnnnnnaaaaaaaaalll即(3)方阵A的特征值l就是特征方程|lIA|0的根所以方阵A的特征值l也称为方阵A的特征根齐次线性方程组0)(XAIl的每一个非零解向量，都是方阵A的对应于特征值l的特征向量所以方阵A对应于每一个不同特征值l的特征向量都有无穷多个三特征向量定理1如果非零向量X为矩阵A对应于特征值l的特征向量则CX(C≠0为任意常数）也是A对应于特征值l的特征向量定理2如果X1，X2为矩阵A对应于特征值l的特征向量，且X1+X2≠0，则X1+X2也是A对应于特征值l的特征向量，即:矩阵A对应于同一特征值l的特征向量的非零线性组合仍然为A对应于l特征向量(不能为0)综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的步骤如下:第一步计算矩阵A特征多项式|lIA|;第二步求出矩阵A的特征方程|lIA|=0的全部根,即求得A的全部特征值l1，l1，---ln，(其中可能有重根）第三步对于A的每个特征值li,求出对应的齐次线性方程组（liIA）X=0的一个基础解系.isiiiXXXX,...,,321矩阵A对应于特征值li的全部特征向量为issiiiXCXCXCXC...332211是不全为零的常数其中sCCCC...,,321例1求矩阵的特征值和特征向量解1513A(1)A的特征方程为所以A的特征值为l14l2-20||AIl1513ll0)2)(4(ll(2)当l14时5511)4AI由（0)4(XAI解齐次线性方程组0011021xx得21xx即其基础解系可取为11211xxX则矩阵A对应于特征值l14的全体特征向量为)0(111CXC例1求矩阵的特征值和特征向量解1513A(3)当l2-2时0)2(XAI解齐次线性方程组1515)2AI由（00150521xx得2151xx即其基础解系可取为51212xxX则矩阵A对应于特征值l2-2的全体特征向量为)0(222CXC例2求矩阵的特征值和特征向量3113A解(1)A的特征方程为所以A的特征值为l12l240||AIl3113ll0)2)(4(ll(2)当l12时0)2(XAI解齐次线性方程组1111)2AI由（0011021xx得21xx即其基础解系可取为11211xxX则矩阵A对应于特征值l12的全体特征向量为)0(111CXC例2求矩阵的特征值和特征向量3113A解(3)当l24时0)4(XAI解齐次线性方程组1111)4AI由（0011021xx得21xx即其基础解系可取为11212xxX则矩阵A对应于特征值l24的全体特征向量为)0(222CXC例3求矩阵的特征值和特征向量解(1)A的特征方程为所以A的特征值为l1l24，l320||AIl310130004lll0)2()4(2ll310130004例3求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为l1=l2=4l32310130004(2)当l1l2=40)4(XAI解齐次线性方程组110110000)4AI由（000000110032xx得32xx即其基础解系可取为0013211xxxX1103212xxxX则矩阵A对应于特征值l1l2=4的全体特征向量为)0,(212211不全为零CCXCXC例3求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为l1=l2=4l32310130004(3)当l3=20)2(XAI解齐次线性方程组110110002)2AI由（00011000100321xxx得3210xxx即其基础解系可取为1103213xxxX则矩阵A对应于特征值l32的全体特征向量为)0(333CXC例4求矩阵的特征值和特征向量解(1)A的特征方程为所以A的特征值为l1=l2=1l320||AIl100320111lll0)2()1(2ll100320111例4求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为l1=l2=1l32100320111(2)当l1l2=10)(XAI解齐次线性方程组000310110)AI由（0001000100032xx得其基础解系可取为0013211xxxX则矩阵A对应于特征值l1l2=1的全体特征向量为)0(111CXC例4求矩阵的特征值和特征向量解A的特征值为l1=l2=1l32100320111(3)当l320)2(XAI解齐次线性方程组100300111)2AI由（00010001100321xxx得0321xxx即其基础解系可取为0113212xxxX则矩阵A对应于特征值l3=2的全体特征向量为)0(222CXC•在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．•设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+annl1l2…ln=|A|（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质本身需牢固掌握）四特征值与特征向量的性质例5设l是方阵A的特征值证明(1)l2是A2的特征值证明因为l是A的特征值故有X0使AXlX于是(1)A2Xl2Xl(AX)A(lX)A(AX)所以l2是A2的特征值因为X0知l0有XlA1X由AXlX(2)当A可逆时(2)当A可逆时,是的特征值l11AXXAl11是的特征值l11A例5：设l是方阵A的特征值，证明(1)l2是A2的特征值；(2)当A可逆时，1/l是A−1的特征值．结论：若非零向量p是A对应于特征值l的特征向量，则l2是A2的特征值，对应的特征向量也是p．lk是Ak的特征值，对应的特征向量也是p．当A可逆时，1/l是A−1的特征值，对应的特征向量仍然是p．mmmmAaAaEaAaaa1010)(,)(lll一般地，令则.)()(的特征值是Al例6：设3阶方阵A的特征值为1,−1,2，求A*+3A−2E的特征值．解：A*+3A−2E=|A|A−1+3A−2E=−2A−1+3A−2E=(A)其中|A|=1×(−1)×2=−2．从而A*+3A−2E的特征值分别为12321)(3213121)()/()(3223222/)(例7主对角线上的元素为l1，l2---ln的n阶对角矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角线上的n个元素l1，l2---ln定理4n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值证明||TAIl转置矩阵AT的特征多项式为TAI）（lTAIl||TAIl|)(|TAIl||AIl即方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值例8证明:方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为0证明必要性则如果A为奇异阵0||A0||)1(An所以A有一个特征值为0充分性|||0|AAI如果A有一个特征值为0，对应的特征向量为X则00XAX有非0解所以|A|=0定理3n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特征值均不为0p120定理2设l1l2lm(m≤n)是n阶方阵A的m个互不同特征值X1X2Xm分别是A对应于l1l2lm的特征向量则X1X2Xm线性无关A(k1X1k2X2ksXs)0证明设有常数k1k2ksl1k1X1l2k2X2lsksXs0用数学归纳法m=1时X1≠0显然成立使k1X1k2X2ksXs0设m=s-1时X1X2Xs-1线性无关现证明m=s时X1X2Xs线性无关k1X1k2X2ksXs0lsk1X1lsk2X2lsksXs0l1k1X1l2k2X2lsksXs0两边同乘ls两式相减(ls-l1)k1X1(ls-l2)k2X2(ls-ls-1)ks-1Xs-100)(,...0)(,0)(12211ssssskkkllllll所以X1X2Xs线性无关由设m=s-1时X1X2Xs-1线性无关)12,1(sisill0,...0,021skkk由数学归纳法知对任意正整数m,结论成立p121例10设l1和l2是矩阵A的两个不同