直线与抛物线的位置关系(专题).

抛物线的简单几何性质————叶双能一．教学目标：1.掌握抛物线的简单几何性质2.能够熟练运用性质解题3.掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题4.进一步理解用代数法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.二．教学重难点：重点：抛物线的几何性质难点：抛物线几何性质的运用.易错点：直线与抛物线方程联立时，要讨论二次项系数是否为零.三．教学过程（一）复习回顾：（1）抛物线2(0)yaxa的焦点坐标是__________;准线方程__________.（2）顶点在在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点(1,4)M，则抛物线的标准方程为_______________________.(3)过点2,0M作斜率为1的直线l，交抛物线24yx于A，B两点，求||AB（二）典例分析：例1.已知抛物线24,yx直线l过定点2,1P，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线24yx：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？设计意图：（1）类比直线与双曲线的位置关系的处理方法，解决直线与抛物线的位置关系.(2)掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法;(3)培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想.变式1：已知抛物线方程xy42，当b为何值时，直线bxyl:与抛物线（1）只有一个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点；（4）当直线与抛物线有公共点时，b的最大值是多少？例2：过点4,1Q作抛物线28yx的弦AB，恰好被点Q所平分.(1)求AB所在的直线方程；（2）求||AB的长.变式1：斜率为1的直线l经过抛物线2=4yx的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.(教材69页例4)方法（一）方程联立求交点坐标根据两点间距离公式方法（二））方程联立根据韦达定理求12+xx运用弦长公式方法（三）（数形结合）方程联立根据韦达定理求12+xx运用焦点弦公式拓展：标准方程对应的焦点弦公式：1212(1):|=||+||+p)||=|y|+||+pABxxABy焦点在x轴上（2焦点在y轴上：（由焦半径公式推导而来）变式2：已知抛物线2yx与直线(1)ykx相交于两点。（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于10时，求k的值（16）（本题主要要熟悉，三角形面积的常见表示方法(1)2分解成两个共底的三角形的面积之和（）利用底乘高的一半公式）变式3：已知抛物线:C22yx.(1).若直线1ykxk与曲线C只有一个交点，求实数k的取值范围.(2).求过点0,1P且与抛物线C只有一个公共点的直线方程.(3).过点1,1A作抛物线C弦AB，恰好被点A所平分，求AB的直线方程和弦||AB的长.((1)13130,,22;(2)0x或1y或112yx);(3)yx,22例3.过抛物线22ypx的焦点F的一条直线和抛物线相交于1122(,),(,)AxyBxy(1).求证：221212,4pyypxx(2).求证：1222(sinpABxxp为直线的倾斜角）(3).求证：112FAFBp(4).求证011AFB90(5).求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切(6).AFBF求证：以（或）为直径的圆与y轴相切(7).求证：点A、O、B1三点共线.(8).若AFaBFb，，M是A1,B1的中点，求证MFab变式练习：若抛物线的方程为22xpy，则能得到什么结论？:例４．已知抛物线C：24yx．（１）在抛物线C上求一点P，使得点P到直线3yx的距离最短.（2）在抛物线C上求一点P，使得点Ｐ到点3,0A的距离最近，并求最近的距离．（３）若点A的坐标为1,1，在抛物线C上求一点P使得||||PFPA最小，并求最小值.（４）若点A的坐标为1,4，在抛物线C上找一点Ｐ使得||||PFPA最小，并求最小值.（５）在抛物线C上求一点P，使得点Ｐ到点0,2A距离与P到准线的距离之和最小，并求最小的值.（6）求下列函数的最值.(1)21xyz(2)yxz（7）过抛物线C的焦点F，做互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求||||ABCD的最小值.变式1：过抛物线24yax(0)a的焦点F，做互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求||||ABCD的最小值.变式2：过定点M(4,0)作直线L，交抛物线xy42于A、B两点，F是抛物线的焦点，求AFB的面积的最小值。变式3：已知抛物线C：xy42的焦点为F，过点F的直线L与C相交于A、B两点。（1）若316AB，求直线L的方程。（2）求AB的最小值。例5.已知抛物线22(0)ypxp的动弦AB恒过定点(2,0)Mp，求证：.1OAOBkk变式1：若直线L与抛物线)0(22ppxy交于A、B两点，且OA⊥OB，:求证：直线L过定点变式2：如图所示，F是抛物线22(0)ypxp的焦点，点4,2A为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，且||||PAPB的最小值为8.（１）求抛物线的方程；（２）若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点Ｍ的动直线与抛物线交于Ｂ，Ｃ两点，且.0OBOC，若存在，求出定点Ｍ的坐标；若不存在，请说明理由．三．练习反馈：1.抛物线212yx上与焦点的距离等于9的点的坐标为______________________.2.过抛物线28yx的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)AxyBxy两点，如果126xx，则||AB=___________________________.3.已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点111222333,,,,,PxyPxyPxy在抛物线上，且123,,xxx成等差数列，则有（）A.123||||||FPFPFPB.222123||||||FPFPFPC.2312||||||FPFPFPD.2231||||.||FPFPFP4.一个正三角形的三个顶点，都在抛物线xy42上，其中一个顶点为坐标原点，求这个三角形的面积5.直线2yx与抛物线22yx相交于,AB两点，求证：OAOB6.已知直线与抛物线22ypx(0)p交于,AB两点，,OAOB且ODAB并交AB于点Ｄ，点Ｄ的坐标为2,1,求p的值．7.设直线2yxb与抛物线24yx交于,AB两点，已知弦||35AB，点P为抛物线上一点，30,PABS求点P的坐标(16,8,9,6)第２题图8.过抛物线22(0)ypxp焦点F的直线交抛物线于,AB两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.9（05北京）如图，O为坐标原点，过点.2,0P，且斜率为k的直线l交抛物线22yx于1122,,,MxyNxy两点.(1)写出直线l的方程；（2）求12xx与12yy的值；（3）求证OMON10.已知直线:lyxb与抛物线xy22相交于两点A、B，求：(1)线段AB的中点M的轨迹方程;(2)b为何值时OAOB.11.过抛物线xy22的焦点作倾斜角为045的弦AB，则弦045的长度是多少？变式1：已知抛物线xy22截直线yxb所得的弦长为4，求b的值.变式2：已知抛物线xy22截直线1ykx所得的弦长为4，求k的值.（四）小节.