高等数学A(上)-主要内容

1高等数学A（上）的主要内容合肥工业大学数学学院宁荣健一、极限⒈求极限的类型和方法⑴利用极限四则运算法则和复合函数极限运算法则求极限；⑵利用无穷小与无穷大的关系求极限；⑶利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小求极限；⑷利用等价无穷小代换求极限；⑸利用两个重要极限求极限；⑹利用极限与单侧极限的关系求极限；⑺利用夹逼准则求极限；⑻利用单调有界准则证明数列极限存在；⑼利用初等函数的连续性求极限；⑽利用洛必达法则求极限；⑾利用导数定义和定积分定义求极限；⑿利用微分中值定理（包括泰勒公式）和积分中值定理求极限。⒉变相求极限的类型⑴无穷小的比较。高阶无穷小，低价无穷小，同阶无穷小，等价无穷小等。⑵求渐近线。水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线；并注意单侧渐近线。⑶判断间断点的类型。第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点。⑷判断函数在点0x处的可导性。特别是分段函数在分点处的可导性。⑸判断反常积分的敛散性。包括无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。⒊极限与连续性，可导性，可积性，反常积分敛散性的关系①连续性：)()(lim00xfxfxx。②可导性：0000()()()limxxfxfxfxxx。③可积性：01()lim()nbiiaifxdxfx。④反常积分敛散性：定积分+极限，如()lim()baabfxdxfxdx。二、连续性⒈连续函数的基本性质⑴连续函数的四则运算法则。⑵连续函数的复合运算法则。⑶连续函数的反函数运算法则。2⑷初等函数在其定义区间内均连续。⒉有限闭区间上的连续函数的性质⑴最值定理。结合导数的应用，会求最值。⑵有界定理。⑶介值定理。经常在证明题中运用，注意和最值定理及积分中值定理结合使用。⑷零点定理。经常用于判断方程的根问题。⒊判断方程的根⑴惟一根的判断：存在性（零点定理和罗尔定理）和唯一性（单调性与反证法）。⑵含参数的方程根讨论：与函数作图相结合。⒋连续性与极限、可导、可积的关系⑴()fx在点0x处可导()fx在点0xx处连续0lim()xxfx存在。⑵()fx在],[ba上连续()fx在],[ba上可积。⑶若)(xf在],[ba上可积()()xaxftdt在],[ba上连续；若)(xf在],[ba上连续()()xaxftdt在],[ba上可导，且()()Fxfx。⒌分段函数在分点处的连续性：左连续且右连续。⒍间断点及其分类⑴第一类间断点和第二类间断点。⑵初等函数的间断点往往产生于定义域之外的点处。三、导数与微分⒈求导运算⑴导数的定义。⑵求导基本公式。⑶运用求导四则运算法则：2(),(),()uuvuvuvuvuvuvuvvv。特别地，21(),()vCuCuvv。⑷复合函数求导法则：[(())](())()fxfxx。⑸反函数求导法则：1dxdydydx，22223()dydxdxdydydx。3⑹隐函数求导两种方法（一阶导数、二阶导数）。对数求导法或换底求导法：)ln()()(lnuvuuvuedxdudxdvuvv（适用于幂指函数）。⑺参变量函数求导法则：)()(tyytxx：()()dyytdxxt，22()1()()()dyytdxxtxt。⑻不定积分的导数：(())()fxdxfx。⑼变限函数求导：()()(())(())()(())()bxaxftdtfbxbxfaxax。特别地，当被积函数中含有变量x时，通常运用拆分或换元方法，先将被积函数变换为不再含有变量x后，方可求导。⑽高阶导数。掌握高阶导数运算法则和常见函数的高阶导数公式，并会将函数变形。⑾分段函数在分点0xx处的求导方法：①00(),,(),xxxfxaxx：利用导数定义。②00(),(),()(),()xxxfxxxx：利用单侧导数。注意：分点0xx处的可导性一定要单独讨论。不可简单地认为00(),,()0,xxxfxxx或00(),(),()(),().xxxfxxxx⑿微分①微分的概念。如果()yAxox（0x），微分dyAx，其中(),Afxxdx，dxxfdy)(。②对于一元函数而言，可导可微。③微分法则：dvduvud)(；vduudvuvd)(；2)(vudvvduvud。④微分形式不变性：)(ufy：duufdy)(（不论u是自变量还是函数均成立）。⒉导函数的奇偶性和周期性⑴如果()fx为奇函数（偶函数），则()fx为偶函数（奇函数）。⑵如果()fx是以T为周期的函数，则()fx仍是以T为周期的函数。⒊单调性与极值⑴利用导数的符号判断单调性。⑵了解极值的必要条件。进而知驻点和不可导点为可能的极值点，需进一步判断。⑶会利用极值的两个充分条件求极值。⒋凹凸性与拐点4⑴利用二阶导数的符号判断凹凸性。⑵了解凹凸曲线与其弦、切线的位置关系；以及导函数的单调性。⑶二阶导数为零的点和不可导点处为可能产生拐点。会用两侧二阶导数的符号判断该点是否为拐点。⑷如果0()0fx，0()0fx，则))(,(00xfx为)(xfy的拐点．⒌微分中值定理及中值等式证明⑴罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒公式。⑵掌握()()()0ffg中()f和()g的变化，令()()()gxFxfxe，并对其运用罗尔中值定理。⑶一般情况下，由()()fbfa联想到拉格朗日中值定理。⑷出现高阶导数时，联想到泰勒公式。⒍不等式证明⑴单调性。关注有等号与不含等号的区别。⑵凹凸性。关注凹凸性的几种几何特征，如弦、切线等的位置关系。⑶中值定理。常用拉格朗日中值定理和泰勒公式。⑷最值方法。当不等式右端为常数时，较为常用。⒎函数恒等式证明⑴令()fx左-右；⑵验证()0fx，从而()fxC；⑶取某点0x，计算得0()0fx，故0C，所以()0fx，即得证。⒏会求最大值和最小值⑴有限闭区间上的连续函数的最大值和最小值。⑵无穷区间上的连续函数的最大值和最小值。四、不定积分与定积分⒈不定积分与原函数的关系⑴如果()fx连续，则()()xaxftdt为()fx的一个原函数。⑵如果()Fx为()fx的一个原函数，即()()Fxfx，则有()d()fxxFxC。⒉不定积分与导数或微分的关系(())()fxdxfx，或()()dfxdxfxdx；()()FxdxFxC，或()()dFxFxC。⒊不定积分的求法⑴利用不定积分的性质求不定积分。⑵利用不定积分的基本公式求不定积分。5⑶利用不定积分的换元法求不定积分。注意两部分变化。⑷利用不定积分的分部积分法求不定积分。⑸熟练掌握三个特殊类型积分：①有理函数积分。方法：将被积函数分解或拆分后，再逐项积分。②三角有理式积分。方法：利用三角函数变形直接计算，或通过变换（含万能公式）化为有理函数积分计算。③简单的无理根式积分。方法：直接计算，或通过变换去根号后计算。⑹“积不出来”的不定积分：2xedx，xedxx，sinxdxx，cosxdxx，2sinxdx，2cosxdx，ln(1)xdxx等均存在，但“积不出来”。如果计算时出现，应该回避直接计算。⒋定积分的概念和性质⑴定积分的几何意义（曲边梯形的面积，含上正下负）与物理意义。⑵定积分的性质（线性性、依区间可加性、几何度量性、保序性或保号性、积分正则性、积分绝对值不等式、估值定理和积分中值定理）。⑶定积分与其积分变量的记号无关。如()()bbaafxdxftdt。并规定0,,()(),.baababfxdxfxdxab⑷可积性：如果函数()fx在[,]ab上连续，或者在[,]ab上仅有有限个第一类间断点，则()fx在[,]ab上可积．⒌积分上限函数⑴掌握积分上限函数()()xaxftdt的连续和可导条件。⑵会求变限函数的导数，特别是与洛必达法则（求极限）相结合。⑶会构造积分上限函数()()xaxftdt证明积分等式或积分不等式。⑷积分上限函数的奇偶性：设)(xf为连续函数，①如果)(xf为奇函数，则0()dxftt为偶函数；②如果)(xf为偶函数，则0()dxftt为奇函数。⒍定积分的计算⑴利用定积分定义计算定积分。⑵利用定积分的几何意义计算定积分。⑶利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。注意：并非所有定积分都能通过牛顿-莱布尼兹公式计算。⑷利用定积分的换元法计算定积分。注意三部分变化，特别是上下限的变化。⑸利用定积分的分部积分法计算定积分。6⑹利用定积分的奇偶对称性计算定积分。⑺利用定积分的周期函数性质计算定积分。⑻先证明定积分的有关等式（含递推公式），再利用其计算定积分。⑼通过建立简单的方程（组），计算定积分。⑽利用结论22001,,(1)!!sincos!!,2nnnnxdxxdxnn奇数偶数为为计算某些定积分。⒎反常积分⑴反常积分=定积分极限，极限存在则收敛，极限不存在则发散。⑵了解单一型反常积分（四个类型）和综合型反常积分。一般地，将综合型反常积分分解为若干个单一型反常积分之和，当且仅当每个单一型反常积分都收敛时，对应的综合型反常积分才收敛．换言之，只要其中有一个单一型反常积分发散（其它单一型反常积分的敛散性不论如何），对应的综合型反常积分一定发散．特别地，反常积分sindxx、2d1xxx、111dxx等均发散，并非为零。⑶如果()fx为奇函数，且反常积分()dfxx或()daafxx收敛，则有()d0fxx或()d0aafxx。例如：2d0xxex，1311d0xx等。⑷理解反常积分收敛时的两种情形：绝对收敛和条件收敛。⑸p积分11pdxx：当1p时，收敛；当1p时，发散；q积分101qdxx：当1q时，收敛；当1q时，发散。⑹会利用广义牛顿-莱布尼兹公式，广义换元法，广义分部积分法等计算反常积分。五、定积分应用⒈平面图形的面积⑴直坐标情形①曲边梯形0(),yfxaxb的面积为()baAfxdx；②当()yfx的参数方程为(),()xtyt时，该曲边梯形的面积为()()dAttt。③平面图形12()(),fxyfxaxb的面积为21[()()]dbaAfxfxx。④平面图形12()(),gyxgxcyd的面积为21[()()]ddcAgygyy。7⑵极坐标：曲边扇形)(,),(rr的面积为21()2Ard。⒉立体体积⑴已知平行截面面积的立体体积：介于)(,babxax之间且平行截面面积为)(xA（bxa）的立体体积为()baVAxdx。⑵旋转体的体积：曲边梯形0(),yfxaxb分别绕x轴和y轴旋转的旋转体体积分别为2()bxaVfxdx，2()byaVxfxdx。⑶曲边梯形0(),xgycyd绕y轴旋转的旋转体体积为2()ddcVyy。⒊平面曲线的弧长⑴直角坐标：曲线段()yfx（bxa）的长度为21()basfxdx。⑵参数方程：曲线段(),()xtyt（t）的长度为22()()sttdt。⑶极坐标方程：曲线段)(rr（t）的长度为22()()srrd。⒋旋转体的侧面积曲边梯形0(),yfxaxb绕x轴旋转的旋转体侧面积为22()1()baSfxfxdx。⒌函数的平均值连续函数)(xfy在],[ba上的平均值为1()bayfxdxba。⒍平面曲线的曲率①23/2||(1)yKy