计量经济学第三章-多元线性回归方程

《计量经济学》《Econometrics》《经济计量学》1第三章多元线性回归模型多元线性回归模型多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测回归模型的其他形式回归模型的参数约束23.1多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定3一、多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：其中:k为解释变量的数目，i称为回归参数（regressioncoefficient）。习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样：模型中解释变量的数目为（k+1）4ikikiiiXXXY22110i=1,2…,n一、多元线性回归模型总体回归函数的随机表达形式。它的非随机表达式为:方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。5ikikiiiXXXY22110kikiikiiiiXXXXXXYE2211021),,|(总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为μXβY其中)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kkβ121nnμ一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型样本回归函数：用来估计总体回归函数其随机表示式:ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。样本回归函数的矩阵表达:7kikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110ikikiiiieXXXYˆˆˆˆ22110βXYˆˆ或eβXYˆ其中：kˆˆˆˆ10βneee21e二、多元线性回归模型的基本假定假设2，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设3，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n∞时，其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵假设1，回归模型的设定是正确的jjjijiQXXnxn22)(11或Qxxn1knnkxxxx1111x二、多元线性回归模型的基本假定假设4，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性假设5，解释变量与随机项不相关假设6，随机项满足正态分布0),(ijiXCovkj,2,1),0(~2Ni0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji,,2,1,上述假设的矩阵符号表示式：假设2，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设40)()()(11nnEEEEμnnEE11)(μμ21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假设5，E(X’)=0，即0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE二、多元线性回归模型的基本假定3.2多元线性回归模型的参数估计一、普通最小二乘估计*二、最大或然估计*三、矩估计四、参数估计量的性质五、样本容量问题六、估计实例11对于随机抽取的n组观测值kjniXYjii,2,1,0,,,2,1),,(如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：KikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110i=1,2…n根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ210QQQQk其中2112)ˆ(niiiniiYYeQ2122110))ˆˆˆˆ((nikikiiiXXXY一、普通最小二乘估计于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(221102222110112211022110解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值,,,,,jjk012。一、普通最小二乘估计正规方程组的矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111ˆˆˆ即YXβX)X(ˆ由于X’X满秩，故有YXXXβ1)(ˆ一、普通最小二乘估计将上述过程用矩阵表示如下：即求解方程组：0)ˆ()ˆ(ˆβXYβXYβ0)ˆˆˆˆ(ˆβXXββXYYXβYYβ0)ˆˆˆ2(ˆβXXββXYYYβ0ˆβXXYX得到：YXXXβ1)(ˆβXXYXˆ于是：例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，53650000215002150010111111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX'39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX可求得0735.10003.00003.07226.0)(1EXX于是7770.0172.10339648400156740735.10003.00003.07226.0ˆˆˆ21Eβ对于正规方程组一、普通最小二乘估计βXXYXˆβXXeXβXXˆˆ于是0eX或0ie0iijieX(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法(*)(**)ikikiiiexxxyˆˆˆ2211i=1,2…n其矩阵形式为eβxyˆ其中：nyyy21yknnnkkxxxxxxxxx212221212111xkˆˆˆˆ21β在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为Yxxxβ1)(ˆkkXXYˆˆˆ110一、普通最小二乘估计样本回归函数的离差形式一、普通最小二乘估计随机误差项μ的方差σ的无偏估计可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为11ˆ22knkneiee对于多元线性回归模型ikikiiiXXXY22110易知),(~2βXiNYiY的随机抽取的n组样本观测值的联合概率)ˆ()ˆ(21))ˆˆˆˆ((212122222211022)2(1)2(1),,,(),ˆ(βXYβXYβeeYYYPLnXXXYnnnkikiiin即为变量Y的或然函数*二、最大或然估计对数或然函数为)ˆ()ˆ(21)2()(2*βXYβXYnLnLLnL对对数或然函数求极大值，也就是对)ˆ()ˆ(βXYβXY求极小值。因此，参数的最大或然估计为YXXXβ1)(ˆ结果与参数的普通最小二乘估计相同*二、最大或然估计*三、矩估计（MomentMethod）OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组YXβX)X(ˆ并对它进行求解而完成的。该正规方程组可以从另外一种思路来导:μXβYμXXβXYXμXXβ(YX)求期望:0XβYX)((E0XβYX)((E称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。0)ˆ1βX(YXn由此得到正规方程组YX'βXX'ˆ解此正规方程组即得参数的MM估计量。易知MM估计量与OLS、ML估计量等价。矩方法是工具变量方法(InstrumentalVariables,IV)和广义矩估计方法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基础在矩方法中关键是利用了E(X’)=0如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性无偏性有效性同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性渐近有效性一致性四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质1、线性性其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量2、无偏性这里利用了假设:E(X’)=026CYYXXXβ1)(ˆβμXXXβμXβXXXYXXXβ11)()())()(())(()ˆ(1EEEE四、参数估计量的性质3、有效性（最小方差性）27其中利用了YXXXβ1)(ˆμXXXβμXβXXX11)()()(和Iμμ2)(E四、参数估计量的性质五、样本容量问题⒈最小样本容量所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即nk+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1292、满足基本要求的样本容量从统计检验的角度：n30时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明六、多元线性回归模型的参数估计实例例3.2.2在例2.5.1中，已建立了中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。解释变量：人均GDP：GDPP前期消费：CONSP(-1)估计区间：1979~2000年Eviews软件估计结果LS//DependentVariableisCONSSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C120.700036.510363.3059120.0037GDPP0.2213270.0609693.6301450.0018CONS