1.3.1-单调性与最大(小)值(第1课时)

引入1如图为我市某日24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：引入2德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？123tyo20406080100记忆的数量(百分数)天数1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律.函数值在（，）上随着自变量的增大而增大.0)[0函数值在（，上随自变量的增大而减少，在，）上随自变量的增大而增大.探究点函数单调性的定义像这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的___________的性质我们称之为“函数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的___________的性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.如何用函数的解析式和数学语言进行描述？增大而增大增大而减少对函数f(x)=x2而言，“函数值在（0，+∞）上随自变量的增大而增大”，可以这样描述：在区间（0，+∞）上任取两个实数x1,x2,得到函数值f(x1)=x12,f(x2)=x22，当x1x2时，有____________请同学们用数学语言描述函数f(x)在（-∞，0]上函数值随自变量的增大而减小的情况.f(x1)f(x2).一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有___________，那么就说函数在区间D上是增函数．12xx，12xxf(x)函数单调性的相关概念f(x1)f(x2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有___________，那么就说函数在区间D上是减函数．12xx，12xxf(x)如果函数y=f(x)在区间D上是_______________，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．f(x1)f(x2)增函数或减函数第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,即必须是f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2));对函数单调性的理解第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是局部概念;第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使用的.例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解：函数的单调区间有yf(x)[52)[2,1),[1,3),[3,5],，，其中在区间上是减函数，在区间上是增函数．yf(x)[52)[1,3)，，[2,1),[3,5]0.kpV分析：即要求证明函数在（，）上是减函数2(例.物理学中的玻意耳定律为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强将增大.试用函数的单调性证明之.kpkVp21121212()().VVkkpVpVkVVVV则12121221,(0,)0;,0.VVVVVVVV由，得由得120,()()0,kpVpV又于是12()().pVpV即作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且V1V2,所以，函数V∈(0,+∞)是减函数，也就是说，当体积减小时，压强p将增大.kpV，①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1x2;②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;④判断：根据定义得出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:【提升总结】画出反比例函数f(x)=的图象.（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.1x探究实践函数图象如图1()函数的定义域是(-,0)(0,+).200()函数在（，）上和（，）上都是减函数.12120证明：任取且,(,),,xxxx2112121211()().xxfxfxxxxx则1)0.根据函数单调性的定义，函数（在（，）上是减函数fxx12()(.fxfx即）函数在（-，0）上单调递减的证明如下：00001212122112由x,x∈(-∞,)得xx;由xx得x-x.所以f(x)-f(x)，1.()(21)1111..2222fxaxbR设函数在上是严格单调减函数，则有（）A.a　　　Ｂａ　　　　Ｃ.ａ＞　　　　Ｄａ＜解析：直线y=kx+b在k0时，单调递减.∴2a-10,即aD122.函数的单调增区间是___________.2361yxx3.函数f(x)=x2-2ax+3在(-∞，4]上是减函数，则a的取值范围为________．[4，+∞)提示：可利用函数图象求解.（1，+∞）4.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间是[-1,0）,[0,2）,[2,4）,[4,5].在区间[-1,0）,[2,4）上，函数是减函数；在区间[0,2）,[4,5]上，函数是增函数.1.函数的单调性定义的内涵与外延：内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况；外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3.证明函数的单调性的基本步骤是：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）判断.2.函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内.