第四章----不完全信息静态博弈

第四章不完全信息静态博弈一、不完全信息博弈和贝叶斯纳什均衡二、贝叶斯纳什均衡应用举例三、贝叶斯博弈与混合战略均衡四、机制设计理论与显示原理不完全信息博弈和贝叶斯纳什均衡1.不完全信息博弈2.海萨尼(Harsanyi)转换3.不完全信息静态博弈的战略式表述和贝叶斯纳什均衡不完全信息博弈完全信息博弈：支付函数是参与人的共同知识这一条件往往难于实现，如当一个企业想进入某个市场时，它并不清楚已在市场上的企业的成本函数……不完全信息博弈：至少有一个参与人不知道其他参与人的支付函数。不完全信息博弈市场进入博弈：①假定进入者不知道在位者的成本函数；②在位者有两种可能的成本函数：高成本、低成本。在位者低成本情况高成本情况进入者斗争默许默许斗争进入不进入40，50-10，030，80-10，1000，3000，3000，4000，400进入者有关在位者的成本信息是不完全的，但在位者知道进入者的成本函数。纳什均衡：高成本：给定进入者进入，在位者的最优选择是默许，概率P，认为在位者高成本低成本：给定进入者不进入，在位者的最优选择是斗争，概率1-P，认为在位者低成本则进入者选择进入的期望利润进入者选择不进入的期望利润40P-10(1-P)≥0×P+0(1-P)=050P≥10P≥1/5即P1/5进入P1/5不进入P=1/5两者无差异就选进入(假定)海萨尼(Harsanyi)转换当在位者两种成本，进入者似乎是与两个不同的在位者博弈，(一高，一低)。如在位者有T种可能的C，进入者似乎是在与T个不同的在位者博弈。(在1967年以前，博弈论专家认为这样的不完全信息博弈是没法分析的，因为当一个参与人并不知道他与谁博弈时，博弈的规则是没定义的。)处理：Harsanyi，1967-1968—引入虚拟的参与人—“自然”(Nature)化不完全信息博弈完全但不完美信息博弈(1)Harsanyi转换例子(2)类型(3)静态贝叶斯博弈的时间顺序(4)贝叶斯纳什均衡建立转化为Harsanyi转换例子N高低进入者不进入进入(0，300)在位者合作斗争(40，50)(-10，0)不进入进入(0，400)合作斗争(30，80)(-10，100)[P][1-P]类型类型：一个参与人所拥有的所有个人信息，即所有不是共同知识的信息称为参与人的类型(type)。N选择参与人的类型，参与人i本身知道j不知但知i属哪种类型的概率。上述例子自然选择的只是在位者的高成本还是低成本。自然在博弈的开始选择的包括参与人的战略空间、信息集、支付函数(支付函数等同于其类型)等。在位者不知道进入者是否知道自己是高成本还是低成本，只知道进入者有P’概率知道自己的成本函数，1-P’不知道自己的成本函数。进入者也有两种类型：知道(在位者的成本)或不知道(在位者的成本)。静态贝叶斯博弈的时间顺序静态贝叶斯博弈的时间顺序如下：①N选择θ=(θ1，…θn)，θi∈Θi，i知(观测到)θi，但j(≠i)只知pj(θ-j|θj)，观测不到θi；②n个参与人同时选择行动a=(a1,a2,…,an)，其中ai∈Ai(θi)；③参与人i得到ui(a1,a2,…,an；θi)，Ai(θi)，ui(ai,a-i,θi),i本身是共同知识。若任意i，Θ={θi}(单个元素，即一个类型)，这时不完全信息静态博弈就退化为完全信息静态博弈(因为pj(θ-j|θj)=1，知道i只能唯一取θi)。当参与人i观测到自己的类型时也就知道了其他参与人的类型，博弈也是完全信息的，称类型相关。不过，我们一般假定参与人的类型是相互独立的。贝叶斯纳什均衡建立①i期望效用函数②贝叶斯纳什均衡③贝叶斯纳什均衡实际上相当于∑i|Θi|个参与人的纳什均衡。如上例，在位者两种类型：高成本，低成本；进入者一种类型；相当于3个参与人的纳什均衡。θi∈Θi(θ参与人i类型，Θ类型集合)，假定取自某个客观的分布函数p(θ1，…θn)，i能观察到自己的类型θi，j≠i不能观察到i的类型θi，但p(θ1，…θn)是共同知识。θ=(θ1，…θn)=(θi,θ-i),pi(θ-i|θi)为i的条件概率，即给定参与人i属于θi的条件下，其他参与人(j)属于θ-i的概率：是必然条件若类型的分布是独立的：iiiiiiiiiiiiaaupv););(),(()|()(,))(,),((*1*1*iiinnAaiaaaiiiiiiiiiiiaiiaaupa),);(,()|(maxarg)(**))(,),(),(,),((*1*11*11*1*nniiiiiaaaaanii1}{(,)(,)p(,)(|)()()p(,)iiiiiiiiiiiiiiiiiipppppiii)()|()()(),(iiiiiiiippppp不完全信息静态博弈的战略式表述和贝叶斯纳什均衡表述贝叶斯纳什均衡(BNE)是完全信息静态博弈NE在不完全信息静态博弈上的扩展。不完全信息静态博弈又称为静态BNE。①i同时行动，所以战略空间Si等同于行动空间Ai，但Ai依赖于θi，即Ai=Ai(θi)称为类型依存。用ai(θi)∈Ai(θi)表示i的一个特定行动。②支付函数ui(ai,a-i,θi)也是类型依存。③条件概率pi=pi(θ-i|θi)④博弈G={A1,A2,…,An;θ1,…,θn;p1,…,pn;u1,u2,…,un}贝叶斯纳什均衡应用举例1.不完全信息(Cournot)模型2.不完全信息情况下公共产品的提供3.一级密封价格拍卖（招标）4.双方叫价拍卖不完全信息(Cournot)模型(1)假定：i的类型是成本函数，需求函数p=a-Q=a-q1-q2令为企业i的单位成本，则ic12()1,2iiiiqaqqci为:1L22H2L22H22cccc1()2cc(1)2cc是共同知识低成本有两种类型进一步假定高成本企业知以概率为企业的成本以概率为企业的成本122235113152,1,,,,(1)14422424LHacccEc特取不完全信息(Cournot)模型(2)给定企业2知道企业1的成本，企业2选最优q2使实现2Max)(2*122qqtq高成本低成本,4345,4543aat*22111210(;)()2qqttqqtq令依赖于及高成本低成本)43(21)45(211212qqqqHL不完全信息(Cournot)模型(3)企业1仅知企业2以u选q2L,以1-u选q2H，因此企业1将选择q1使实现1MaxE)1(21)1(21)1()1()1(2112112112111HLHLqqqqqqqqquqquqE021)1(2121)1(2112112111qqqqqqqEHL)1(21)21211(2142222*1*122EqqqqqqqHLHL)1(21)24345(41)43(2121)45(212121211111222qqqqqqEqHL112*1414121))1(211(21)1(21qqEqqH2L2*1*1,,3113qqqq代入24111241521)3145(21*2Lq245)3143(21*2Hq)32:(**2L2Hqq注312121**2L2*2HqqEq不完全信息(Cournot)模型(4)比较不完全信息BNE与完全信息NE若C2=3/4，企业1知道C2=3/4，则反应函数分别为：)E()1(21222*1qqqq代替上述即)E()45(21221*2qqqq代替上述即21,41:NE16343)21851(2121*11*1NELNELqqqqq为21251C=5/4NE:,126NENEHHqq同理可得：高成本，为*121((1)2qq)43(211*2qq****111121313551(1),)282416126qqqqq24561;31125241121;3141:*22*11*22*11HNEHNEHLNELNELqqqqqqqq结论***211122221,,NENELNEHNELHLHCqqqqqqq导致因为企业不知所以出现不完全信息(Cournot)模型图4-1Cournot模型：完全信息和不完全信息不完全信息情况下公共产品的提供(1)公共产品提供例子(2)公共产品提供的博弈公共产品提供例子0,00,22,0-3,-3进退进退BA斗鸡博弈0,09,-14,45,1按等待小猪大猪智猪博弈按等待-1,-1-10,00,-10-8,-8坦白抵赖囚徒B囚徒A囚徒困境坦白抵赖公共产品提供例子0,01,1-c21-c1,11-c1,1-c2提供不提供参与人2参与人1统一形式提供不提供当c1，c21，NE(不提供，不提供)=(0，0)，囚徒博弈。NE(不合作，不合作)当0c1，c21，则1-c10，1-c20，NE(提供，不提供)=(1-c1，1)，(不提供，提供)=(1，1-c2)，斗鸡博弈。当c11，c21或c11，c21，NE(提供，不提供)或NE(不提供，提供)，智猪博弈。公共产品提供的博弈a.假定公共产品的好处(每人1单位)是共同知识，参与人成本ci是参与人i的类型，且c1，c2具有相同的、独立的定义在上的分布函数P(﹒)，其中，P(﹒)是共同知识。b.纯战略，其中0表示不提供，1表示提供。c.支付函数若j提供，i不提供若j不提供，i提供d.BNE，使得对于每一个i和每一个可能的ci，战略最大化参与人i的期望效用函数。令为均衡状态下参与人j提供的概率，为均衡状态下参与人j不提供的概率。原则：只有当参与人i预期参与人j不提供时，参与人i才会考虑自己是否提供。],[cc1)P(0,)P(1cccc且}1,0{],[:)(映射cccaiiiiijicaaacaa),max(),,(u21i10)1,0max(),1,0(0)(,1)(iiiiijjccucacaiiiiiijjcccucaca11)0,1max(),0,1(1)(,0)((.))(.),(*2*1aa(.)*ia*(,(),)jciijjiEuaacc)1)((Pr**jjjjcsaobzjz1公共产品提供的博弈参与人i提供的预期收益这意味着，存在一个分割点，分割，使当jjzz1c)1(1i前提)0)c(,1c;1)c(,1c:(i*ii*iijijazaz若当即若*ic],[cc][],[i**cccccciiii，不提供，提供，参与人][],[j***cccccccjjjjj，不提供，提供，使参与人同时存在),P()(PrZ**jjjjccccob分布因为***,11(),iijjccZPc因此可得均衡分割点*****11()1(1()),,jiijijcZPcPPccc而同理满足下述方程：(**)))(1(1**cPPc而方程(**)，假定存在唯一解c*，易知验证：若P(﹒)为[0，2]上的均匀分布，知下面检查确实是个均衡点，注意到，若参与人i不提供，即j提供，则i的期望支付为BNE：若，参与人i提供，若，参与人i不提供。有的概率参与人j不提供。注意：若参与人i不提供，其期望支付若成本为时，他的期望支付(本身计算，从支付矩阵直接导出)为则当只当时提供才是最优的。****)(1jicccPc)1)2(,0)0((2)(P