2018年黄冈中学自主招生模拟试题二及答案

2018年丰乐书院自主招生考试数学模拟测试题二一．选择题（共27小题）1．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．2．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2B．C．D．3．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．304．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．（1+）25．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．06．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④8．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b﹣2c的值为（）A．﹣13B．﹣9C．6D．09．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．m≥C．＜m≤1D．≤m≤110．关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，则2x2+mx﹣n因式分解的结果是（）A．（x+1）（x﹣3）B．2（x+1）（x﹣3）C．（x﹣1）（x+3）D．2（x﹣1）（x+3）11．关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．412．已知一直角三角形的三边长为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定13．已知x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，x2+（6﹣a）x+6﹣b=0有两相等的实数根，x2+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则a、b的取值范围是（）A．2＜a＜4；2＜b＜5B．1＜a＜4；2＜b＜5C．1＜a＜4；1＜b＜5D．2＜a＜4；1＜b＜514．方程|x2﹣6x+8|=1实根的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．17．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1B．h=1C．1＜h＜2D．h＞218．若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（）A．0B．1C．2D．1或219．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣220．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记p=|a﹣b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a﹣b|，则p与q的大小关系为（）A．p＞qB．P=qC．p＜qD．p、q大小关系不能确定21．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合22．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．23．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S124．在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（）A．3B．0C．4D．25．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（）A．2RB．RC．RD．R26．如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，则点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条角平分线交点D．三边中垂线交点27．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（）A．145°B．135°C．120°D．105°二．解答题（共6小题）28．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．29．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．30．已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．（1）当n=4时，求m的值；（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？2017年11月03日神州N号的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．2．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2B．C．D．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．3．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．30【分析】根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，a3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，a3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．故选D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答本题时，采用了“公式法”．4．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．（1+）2【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，求b的值，即可求得正方形的面积．【解答】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=，所以正方形的面积为（1+）2=．故选A．【点评】本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．5．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0【分析】利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．【