2013华师一附中自主招生考试数学模拟试卷

FEDCBA2013华师一附中自主招生考试数学模拟试卷（二）本卷满分150分考试时间90分钟一、选择题（每题5分，共30分）1．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（）A．6B.4C.3D.22．二次函数的图象如何移动就得到的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向左移动1个单位，向下移动3个单位.C.向右移动1个单位，向上移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.3．已知a、b、c为正实数，且满足b＋ca＝a＋bc＝a＋cb＝k,则一次函数5ykxk的图象一定经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D.第二、三、四象限4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y＝[110x]B.y＝[210x]C.y＝[310x]D.y＝[410x]5．正实数,xy满足1xy,那么44119xy的最小值为（）A．23B.54C.1D.26．如图，点P为弦AB上一点，连结OP，过P作，PC交于点C，若AP=4，PB=2，则PC的长为（）A．2B.3C.D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）7．二次函数y＝ax2+(a－b）x—b的图象如图所示，那么化简的结果是______________.8．随机掷三枚硬币，落地后恰有两枚正面朝上的概率是.9．设x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1(2x22+5x2－6)+a=2，则a=.10．已知三角形的三边a、b、c都是整数，且满足abc+bc+ca+ab+a+b+c=7，则此三角形的面积等于.11．已知方程在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则的取值范围是．1422xxy22xyPCOPO222222||aabbba0332xaxa学校：班级：姓名：考号：12．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB上，F,N在半圆上．若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是．三、解答题：（本大题共6小题，计78分，写出必要的推算或演算步骤．）13．（12分）已知二次函数222(1)22yxmxm（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在某一函数图象上，并求出此图象的函数解析式；（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为23，求出此二次函数的解析式。14．（10分）如图所示，△ABC中AB=2，AC=3，∠A=∠BCD=45°，求BC的长及△BDC的面积。15．（14分）某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(a)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(b)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(c)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?16．（15分）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；（2）作EF⊥AB于点F（图2），求证：；（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值．12EFOA17．（12分）已知p为质数，使二次方程015222pppxx的两根都是整数，求出所有可能的p的值。18．（15分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米／秒．（1）设点Q的运动速度为12厘米／秒，运动时间为t秒，①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．（2）设点Q的运动速度为a厘米／秒，问是否存在a的值，使得△OCP、△PAQ和△CBQ这三个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．.图1图3图2华师一自主招生数学模拟试卷（二）参考答案一、选择题（每题5分，共30分）题号123456答案CBCBAD二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）7．-18．389．-1610．3411．或12．25三、解答题：（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）13．解：（1）二次函数的顶点坐标为（21,23mmm），消去m得到24yxx故不论m为何值，二次函数的顶点都在抛物线24yxx上………………4分（2）设二次函数的图象与x轴交于点1(,0)Ax，2(,0)Bx，由已知2123xx，再利用根与系数的关系得122122(1)22xxmxxm又22211212()()4xxxxxx，则22124(1)4(22)mm02m或………………8分当0m时，222yxx当2m时，266yxx…………12分14．解：如图，过C作CE⊥AB交AB于E。则2622CEAEAC∴646222BE又222BCCEBE∴72661BC……………………3分再过D作DF⊥BC，交CB的延长线于F，并设DF=CF=x，则16BFxBCx又Rt△DFB∽Rt△CEB∴DFCEBFBE即6216462xx∴3262x因此，11326(61)222BCDSBCDF964……10分15．解：图（a）表明，输入传送带可运进货物13t/h；图（b）表明，输出传送带可以运出货物15t/h；图（c）表明，在0:00～2:00时间段内仓库中货物增加1282/2th。……5分211a323a学校：班级：姓名：考号：设此时有x条输入传送带、y条输出传送带在工作，则有13152xy故152221313yyxy因020y，故取2226y，得14,12xy……………………9分在4:00～5:00内，同理得方程131512xy故15122121313xyxy因020x，020y，取212021226xy或，得6,621,19(21)xyxyx或不合题意,舍去。…13分答：在0:00～2:00内有14条输入传送带和12条输出传送带在工作；在4:00～5:00内有6条输入传送带和6条输出传送带在工作。…………………………14分16．解：由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以2244(51)4(51)pppp是完全平方数，从而51p是完全平方数，令251pn，n是正整数，则5(1)(1)pnn所以，5(1)(1)nn，即5(1)5(1)nn或。…………………………5分若5(1)n，令15nk，则(52)pkk，由于p是质数，故1k，7p，此时方程为214130xx，11x，213x满足条件。若5(1)n，令15nk，则(52)pkk，故1k，3p，此时方程为26700xx，11x，27x满足条件。…………………………11分综上所述，所求的质数p为3或7………………………………12分17．（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径∵OC为半圆M的直径∴∠CDO=90°∴CD是半圆O的切线。（2）如图，以OC为直径作⊙M，延长EF交⊙M于点P，连结OD。………………4分∵EF⊥CO∴………………5分∵CE平分∠DCB∴∠DCE=∠ECO∴……………7分∴OD=EP∴………………8分EFPFEPEOPO12，DEOEODEPEFODOA1212（3）解：如图3，延长OE交CD于点K设OF=x，EF=y，则OA=2y………………9分∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A∴四边形AFEN是矩形∴………………10分易得E是OK的中点∴N是CK的中点∴Rt△CEF∽Rt△EOF∴，即解得…13分，∴tan∠EOC=3………………15分18．解：（1）①S△CPQ=S矩形OABCS△OCPS△PAQS△BCQ………………1分=6012×6×t12(10t)·12t12×10(612t)=14t23t+30=14(t6)2+21(0≤t≤10)………………2分故当t=6时，S△CPQ最小值为21,此时点Q的坐标为(10,3)………………3分②如图，当∠1＝∠2时，OCOP=QAPA,∴6t=12t10t∴12t2+6t60=0解得t1=6+239,t2=6239（舍去）………………5分当∠1=∠3时，6t＝10t12t，解得t=7,因此，当t=6+239或7时，即当Q点的坐标为(10,3+39)或(10,72)时△COP与△PAQ相似。………………7分⑵设P、Q运动时间为t秒，则OP=t,AQ=at.①当∠1=∠3=∠4时，OCOP＝PAAQ=BCBQ,6t=10tat=106at解得t1=2,t2=18(舍去)，此时a=43,Q点的坐标为(10,83)………8分②当∠1=∠3=∠5时，∠CPQ=∠CQP=90不成立；…………10分③当∠1=∠2=∠4时，OCOP＝AQPA=BCBQ,6t=at10t=106at得5t236t+180=0,△＜0,方程无实数解；………………12分④当∠1=∠2=∠５时，由图可知∠1=∠PCB＞∠5,故不存在这样的a值；……………14分综上所述，存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似，此时a=43,Q点的坐标为(10,83)………………15分NEAFOAOFyx2CONEyx222()CFCOOFyxEFABCEEO43，EFCFOF2yxyx243()yxyx31或当时，yxEOCEFOFyx33tan当时，点与点重合，不符合题意，故舍去yxCA1图3