解决多元最值问题的几种有效策略

•44•中学数学月刊2016年第11期解决多元最埴问题的几种有效策略蔡勇全（四川省资阳市外国语实验学校641300)多元最值问题是指含有多个变量、以求解最大值或最小值为目的的一类数学问题.此类问题具有解答思维灵活、解法多样、涉及的知识面广、综合性强等特点，而且学生正确解答率普遍较低，因此备受各级各类考试命题者的青睐.本文结合实例介绍解决此类问题的几种有效策略，旨在探索题型规律，揭示解答方法，供大家参考.1判别式法若目标函数通过一定的变形整理成为关于某一变量的一元二次方程，则可借助“实系数一元二次方程有实数解时其判别式非负”这一结论予以解决.例1已知实数尤，：y满足l〇g4(尤+2：y)+l〇g4(I—2：y)=1,求I2I—IyI的最小值.[■X+2：y〉0,解析注意到烅x—2y〉0,从而有[(.x+2y)(x—2y)=4,x〉2|^|,x2—4y2=4.由对称性知，只需考虑y0的情况，因为X〉0,所以只需求X—y的最小值.令x—y=M，代人x2—4y2=4中可得3y2—2y+4—m2=0,这个关于y的二次方程显然有实根，故A=16(m2—3)^0.解得“槡3,即x—y的最小值为槡3,故|x|—|y|的最小值为槡3,此时，X4槡3槡3=了，y=3变式1设实数X，y满足x2+xy+y2=3,求X2—xy+y2的最值.变式2设实数x,y，z满足x+2y—3z=7,求x2+y2+z2的最小值.评注在例1及其两个变式的解答中，将目标函数作为一个整体代换为元《，再变形整理为关于元m之外的其他元的一元二次方程，借助该方程有实根时判别式非负这一特点获解.值得注意的是，变式2需反复用判别式非负来求解.2三角代换求解多元最值问题时，若已知条件或已知条件变形后与某些同角三角函数关系式在形式上相似时，则可考虑用三角函数代替题目中的字母或式子，然后利用我们所熟知的三角公式进行化简.例2若正数xy满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为()．解析由x+3y=5xy可得^--h厂=1.又因5x5yx〉0，y〉0，可令^—=cos20，广=sin20(为锐5x5y角），因此，X5cos2，y141------h—•----cos2汐5sin2汐5sin269sin26+cos5cos26所以有3x+4y:4sin26+cos2sin26•tan26+4•tan2632槡htan264•ta6+5=5•当且仅9412当—tan26=—•^，即sin26=—cos26，sin26=55tan2632315,cos26=5，即x=1，y=2时，3x+4y取得最小值5.故应选C.变式1设x，y，z6(0，+⑵），且vX2+y2+z=1，求xy+2xz的最大值.变式2设x，y6犚，且1x2+y22,求2x2+3xy+2y2的最值.评注在处理变式2中，三角函数的取值范围为探求多元最值问题提供了一种放缩视角.比如下面一个变式，虽然不涉及到“三角代换”在求解多元最值问题时的应用，但笔者希望借此介绍利用三角函数的取值范围来进行放缩求解多元最值问题.变式3设x，且x+y+z=2，求cosxsinycosz的最值.TTTT解析由已知得X=y—(y+z)y—(2+12)=n，且inX—y)0，sin(y—z)0，故cosxsinycosz=—cosx[sin(y+z)+sin(y一r)]^^cosxsin(y+z)=—cos2x^^cos2—:ITTTTy，当且仅当X=y，y=z=^2时等号成立，cosxsinycosz的最小值为j.O(A)24(B)2O(C)5(D)6又cosxsinycosz-cosz[sin(x+y)—2016年第11期中学数学月刊•45•sin(.x一_y)]^-^-coszsin(:c+^)=-^-cos2z2+槡3-cos2n=丁(1+cosl)二一当且仅当工1248夕=n时等号成立，c〇s$sin^cosz的最大值2+槡3为8综上所述，cos$sinjcos^的最小值为I，最大8值为2+槡3~8~评注本题利用三角函数中正、余弦值的有界性，选取适当的不等式进行放缩，使问题得以解决.3待定系数法待定系数法是指将目标多元代数式用条件中已有的多元代数式结合必要的待定系数表示出来，再按照一定的技巧求出待定系数，将问题转化为研究新表达式的相关指标.例3设实数满足32$+^4,3$一2^7,求13$—4^的最大值.解析令13$—4;y=犿（2$+^)+^(3$一2;y)，整理可得到13$—4;y=(2犿+3n)$+(犿一„[2犿+3狀=13，^,f2n)：y，所以■{〇解得犿=2n=3，故13$犿一2n=一4，一4^=2(2$+^)+3(3$—2^).因为32$+夕4,3$—2^7,所以62(2$+^)8，153(3$—2；y)^21,2113$一4狔=2(2$+狔）+3($—2狔）29,故13$—4狔的最大值为29.$2变式设实数$，狔满足3$狔28,4一9,求^的最值.狔$3评注本题通过恒等变形将1变形为关于$狔2与一的表达式，然后利用整体代换策略求解，狔简便易行.事实上，本题还可借助例3的求解策略予以解决如下.由条件可知$，狔都是正数，取对数得lg3lg$+2lg狔lg8,lg42lg$-lg狔lg9,现在令$3g^=3lg$—4lg狔=犪（lg$+2lg狔）+犫（2lg$—狔g狔）=(犪+2犫）lg$犪+2犫=3(2犪一犫）lg狔.由2犪一犫：4解得犪1，犫=2,故lg--dg.+2lg狔）+2(2lg$—lg狔）.因为lg3lg$+2lg狔lg8，lg42lg$—lg狔lg9,所以一lg8—(lg$+2lg狔）一lg3,2lg4=lg162(2lg$—lg狔）2lg9=lg81，从而lg16—lg8lgi狔$3$3Ig81—lg3,即lg2lgilg27,2i27,狔狔因此^的最小值为2,最大值为27.如此解答，令人眼前一亮、耳目一新.4引入向量或复数向量与复数是沟通代数和几何的重要桥梁，也是解决包括多元最值问题在内的众多数学问题的有效工具，巧妙运用向量与复数的性质可以使很多问题的解答“柳暗花明”例4若$，狔，之6(0，+⑵），且$+狔+之=1，求狌=槡$2+狔2+$狔+槡狔2+^2+狔^+槡z2+$2+z$的最小值.解析$2+狔2+$狔=($+■^狔)+(槡3狔)，狔2+z2+;yzz2+$2+z$构造复数n=($+1狔)+iryur2(十了z)十Tzl，z十--—$)十槡3$i，则狌=槡$2十y2十$yr槡3十2Iy十$y十rI十1r|十十ri=rI^I;($+y+z)+槡-($十y十z)i=槡3，故当$y=z=3时，狌取到最小值槡3.变式已知$，y，z是不全为零的非负实数，求:.y2.$y十槡yrzryz十槡z+一2+一的$十y十z最小值.例5已知点P的坐标（$y)满足槡3$一y0，$y〇槡y十20,求^槡$~狔的最值./$2+y2槡3~$十y解析根据分式槡的结构特征，构槡$2+y2造向量a=(槡3，1)，fc=($，y),设a，fc的夹角为0，作出可行域（此处略）.结合图形易知，06n，则a•fc=槡一十y，|fcI=槡$2十y2，2槡3$十y槡$2十y2二|a|cos，=2cos因为槡3cos，•46•中学数学月刊2016年第11期Z槡^槡槡狓^狔ZE+h槡槡狓^狔^，所以一槡3^=槡3，故，=2槡狓今狔槡狓*2V7的最小值为一槡3,最大值为槡3.变式已知。，^，[6(〇，+^)，且2。+3^+4c二12,4m+3n+二12，求w二l^a2+^m26+1+J1*犫2+1狀2+4+V36'9''V16'16''各2+1狆2+16的最小值.评注构造复数或向量解答多元最值问题，简化了运算，有效降低了运算量，起到了事半功倍的解题效果，关键还是要常有构造意识，善于提炼出复数与向量这两种构造对象.5数形转化华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”可见，数形转化在处理数学问题时具有难以替代的优越性.事实上，对于多元最值问题，如果数形转化应用得当，往往能够化难为易，极大地优化解题.例6设0〈w〈槡2，幻0,求之二（w—幻）2+(槡一^一99)2的最小值.解析(一，）2+(槡2—w2^)可看作点尸1w，槡2一W)与点尸2(，9)的距离3的平方，而点h在曲线仏：狓2+狔2=2(〇〈狓〈V)上，尸2在曲线瓦2:狔=9(狓0)上，结合图象易狓知，当户1为曲线瓦1与直线狔二狓的交点（1，1)且P2为曲线£2与直线狔二狓的交点（3,3)时，3最小，即min二槡(31)+(31)二2V2，Wmin二变式1如果实数a，犫，c，3满足（+a2—3lna)2+(c一3+2)2二0,那么（a—c)2+(犫一3)的最小值为______.变式2若实数a，，，3满足a—,2lna二—-—二1，则（a—c)2+(—3)的最小值3为______.变式3若狓2+狔2=169，则w=槡24y—10狓+338+槡24狔+10狓+338的最大值为（）.(AXL026(B)13V2(〇5槡6(D)262解析由已知得，w=槡24狔一10狓+169+169+槡24狔+10狓+169+169=槡24狔一10狓+狓2+y2+169+槡24狔+10狓+狓2+y2+169=22狓一5)+(y+12)+槡(狓+5)+(y+12),故w为圆狓2+y2=169上的点P(狓，y)到两定点A(5，一12)，B(—5，一12)的距离之和.结合图形容易发现，当点P为（0,13)时，距离之和最大，仅1„«=1026，故应选八.评注表面看，本题纯属代数中的函数问题，但通过挖掘代数问题中蕴含的几何含义，使问题获得了简捷快速的解答.另外，解题时，巧妙地利用了“常量逆代”策略，这为后续配方创造了绝佳的条件.6不等式法这里的“不等式”主要是指基本不等式与柯西不等式，这些不等式关系及其等号的取得为求解多元最值问题创造了得天独厚的基础.例7设狓，y，ze(0，+⑵），且狓2+y2+z2:1，求！+^+y的最小值.狓y狕解析由基本不等式得狓2y2[212狕y'1(y+y)狕22y狓(狕+=+狔:V狓y狕y2狕2a,2222y狕狓狕2+2狓y狕+狓）y+^^+狓2Z2ZXzZX狕2X+2y2+2狕3(狓2+y2+狕2)=3,所以狕+—+狓y狓狔槡3，当且仅当狓=y=—=槡3时等号成立.故—3当狓=y=—=槡3时，—+—+y的最小值为23.3狓y—变式1设狓，y—e(0，+⑴），且满足狓2—3：ry+4y2——=0,则当，取得最大值时，--1---—狓y—2的最大值为（）.—(A)0(B)1(C)9(D)34变式2设a，—e(0，+⑴），求M二max|—+犫,—+—，7+cj的最小值.\aca犫)2016年第11期中学数学月刊•47•变式3设尤，之e(〇，+⑴），满足尤+^+狕—1，^求狌—的最小值.(14X狔2)狔4狕（1—狕2)狓（1—X2)评注从上述案例可以看出，在利用基本不等式求解多元最值问题时，有时根据需要可以将式子巧妙地分解为多个式子的和或乘积的形式.例8设实数X,狔，满足X+2狔一3狕一7,求x2+狔2+狕2的最小值.解析由柯西不等式可得，（狓2+狔2+狕2)[12+22+(—3)2][1•x+2•狔+(一3)狕]2，即14(x2+狔2+狕2)(x+2狔一3狕）2—49,所以x2+狔2+狕22,当且仅当x—々，狔一8消（减）元归一消（减）元归一是指通过不断地代人或实施加、减、乘、除运算，使题目中的多个变量逐渐消去或减少，直至最终只含有一个变量，然后利用函数知识获得最值.例10设实数X,狔，满足X+狔+狕一1,且X2+狔2+狕2—3,求x狔狕的最大值.解法1由X+狔+，一1，可得(狔+狕）2—(1一X)2，即狔2+狕2—(1—x)2一2狔，又x2+狔2+狕2—3，所以2狔狕—（1一x)2一（3—x2)—2(x2一x一1)，于是X狔狕一x(X2—x—