均值不等式及其证明

1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1平均值不等式一般地，假设12,,...,naaa为n个非负实数，它们的算术平均值记为12...,nnaaaAn几何平均值记为11212(...)...nnnnnGaaaaaa。算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。1212......nnnaaaaaan，即nnAG，当且仅当12...naaa时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当2n时，已知结论成立。（2）假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对0,1,2,...,,iaik有11212...(...)kknaaaaaak。那么，当1nk时，由于1211...1kkaaaAk，11121...kkkkGaaaa，关于121,,...,kaaa是对称的，任意对调ia与ja()ij，1kA和1kG的值不改变，因此不妨设1121min,,...,kaaaa，1121max,,...,kkaaaa显然111kkaAa，以及1111()()0kkkaAaA可得111111()kkkkAaaAaa.所以11112111(1)...kkkkkkkAkAAaaaAAkkk21112111...()...()kkkkkkkaaaaAaaaaAk即12111...()kkkkkAaaaaA两边乘以1kA，得111211112111...()...()kkkkkkkkkkAaaAaaAaaaaG。从而，有11kkAG证法二（归纳法）（1）当2n时，已知结论成立。（2）假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对0,1,2,...,,iaik有1212......kkkaaakaaa。那么，当1nk时，由于121...kkaaaa121111...(...)(1)kkkkkaaaaGGkG112111...(1)kkkkkkkkaaakaGkG1121112...(1)kkkkkkkkaaaaGkG1121112(1)kkkkkkkGGkG1(1)kkG从而，有11kkAG证法三（归纳法）（1）当2n时，已知结论成立。（2）假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对0,1,2,...,,iaik有1212......kkkaaakaaa。那么，当1nk时，由于121...kkaaaa证法四（归纳法和变换）证法五（利用排序不等式）设两个实数组12,,...,naaa和12,,...,nbbb满足1212...;...nnaaabbb，则1122...nnababab（同序乘积之和）1122...jjnjnababab（乱序乘积之和）1211...nnnababab（反序乘积之和）其中12,,...,njjj是1,2,...,n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是12...naaa或12...nbbb成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设12120,0,1则对12,0xx有12121122xxxx等号成立的充分必要条件是12xx。琴生不等式（Jensen）设(),(,)yfxxab为上凸（或下凹）函数，则对任意(,)ixab(1,2,...,)in，我们都有11221122()()...()(...)nnnnfxfxfxfxxx或11221122()()...()(...)nnnnfxfxfxfxxx其中10(1,2,...,)1niiiin习题一1.设11,,1abRab。求证：对一切正整数n，有21()22nnnnnabab2.设,,,abcR求证：3(1)(1)(1)2(1)abcabcbcaabc3.设123,,xxx为正实数，证明：222332112123231()()()xxxxxxxxxxxx4.设,,,abcR1abc，求证：(1)(1)(1)8(1)(1)(1)abcabc5.设,,xyzR，且xyz，求证：222222xyyzzxxyzzxy6.设,,abcR，满足2221abc，求证：3abbccacab7.设,,,abcd是非负实数，满足1abbccdda，求证：333313abcdbcdcdadababc8.设n为给定的自然数，3n，对于n个给定的实数12,,...,;naaa记(1)ijaaijn的最小值为m，求在22212...1naaa的条件下，m的最大值。