数列的特征值法与不动点法

形如nnnqapaa12型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列}{1nnaa的形式求解。方法为：设)(112nnnnkaahkaa，比较系数得qhkpkh,，可解得hk、，于是1{}nnaka是公比为h的等比数列，这样就化归为qpaann1型。设递推公式为,11nnnqapaa其特征方程为220xpxqxpxq，即1、若方程有两相异实根12xx，则12AnnnaxBx；2、若方程有两相等实根12xx，则1(A)nnaBnx.其中A,B可由初始条件确定。例2.1已知数列{}na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na122+1+1122+1+1+1-1+12+1+1+1+1=1=2=3+()=2=2=12()122221nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa令；于是，解得或；是以为初项，2为公比的等比数列.①；是以为初项，1为公比的等比数列（常数列）.方法一：-121212112211+2.3+20=1=221222,3,=1+2.1342nnnnnnnnnnaaaxxxxaAxBxABAABaaaABB②①②得注：①式错位相消亦可解方法二：作特征方程出，解得，，于是例2.2已知数列{}na满足*12211,2,44()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na212+1+112122+1+12+112+12+1+111+()41=1==211===42111131()22222213=,223222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa方法一：化简,令，于是，解得；是以为初项，为公比的等比数列，是以1为初+1+1121211111332213,,.2214410,21()=()()21A=232,=.1B=322(2)2nnnnnnnnnnnnnanaaxxxxaABnxABnABnaAB项，3为公差的等差数列.方法二：作特征方程解得解得，于是分式数列dacbaaannn1通项公式分式线性递推数列dacbaaannn1（0,,,,cRdcba），其特征方程为dcxbaxx，即0)(2bxadcx，1、若方程有两相异实根12xx，则12nnaxax成等比数列，其公比为12acxacx；2、若方程有两相等实根0x，则01nax成等差数列，其公差为0cacx.例.（1）设数列na满足11723,,4nnnnaaaaa求.12111111111172=1=2+4726(1)1=144725(2)2244161=252116=2.225164652(),2526nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa解：令，解得，两式相除得是以为首项，为公比的等比数列15n（2）已知数列na满足*1112,2,nnaanNa,求通项na.10111111111*121212=,11111,==11111111=1=11.111111,,1nnnnnnnnnnnnnnnnaxaxxaaxaaaaaaaaaaannanNan解：，令解得取倒数得即，是以为首项，为公差的等差数列