2005全国高中数学联赛试题及答案[1]

2005年高中数学联赛试卷（一）一、选择题1.使关于x的不等式kxx63有解的实数k的最大值是（）A.36B.3C.36D.62.空间四点A、B、C、D，满足3||AB、4||BC、11||CD、9||DA，则BDAC的取值（）A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个3.△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值是（）A.2B.4C.6D.84.如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A.S是定值，l不是定值B.S不是定值，l是定值C.S、l均是定值D.S、l均不是定值5.方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线6.记集合}6,5,4,3,2,1,0T，4,3,2,1,77774433221iTaaaaaMi，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（）A.43273767575B.43272767575C.43274707171D.43273707171二、填空题7.将多项式2019321)(xxxxxxf表示为关于y的多项式)(yg202019192210yayayayaa，且4xy，则2010aaa=__________。8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若)143()12(22aafaaf成立，则实数a的取值范围是_____________。9.设α、β、γ满足20，若对任意Rx，0)cos()cos()cos(xxx成立，则=_____。10.如图，四面体DABC的体积为61，∠ACB=45°，22ACBCAD，则CD=_________。11.正方形ABCD的一条边在直线172xy上，另外两顶点在2xy上，则正方形面积的最小值为_____________。12.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______。三、解答题13.数列{an}满足a0=1，23645721nnnaaa，Nn，证明：(1)对于任意Nn，a为整数；(2)对于任意Nn，11nnaa为完全平方数。C'D'CDB'A'ABDABC14.将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。15.过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，1ECAE，F在线段BC上，2FCBF，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。2005年全国高中数学联赛试卷（二）一、（本题满分50分）如图，在△ABC中，设ABAC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。二、（本题满分50分）设正数a、b、c、x、y、z满足.;,caybxbcxazabzcy求函数zzyyxxzyxf111),,(222的最小值.三、（本题满分50分）对每个正整数n，定义函数.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当nnnnf（其中[x]表示不超过x的最大整数，]).[}{xxx试求：2401)(kkf的值.2005年全国高中数学联赛试卷（一）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（）A．63B．3C．63D．6解：令36,36,yxxx则2(3)(6)2(3)(6)2[(3)yxxxxx(6)]6.x06,yk实数的最大值为6。选D。2．空间四点A、B、C、D满足,9||,11||,7||,3||DACDBCAB则BDAC的取值（）A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个解：注意到,9711301132222由于,0DACDBCAB则22DADA=22222)(2)(ABABCDCDBCBCABCDBCABCDBCABABCDBCABABCDCDBCBCABBCCDBC(2)(2222222),()CDBCBC即BDACCDABBCADBDAC,022222只有一个值得0，故选A。3．ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于1A、1B、1C。则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值为（）A．2B．4C．6D．8解：如图，连1BA，则12sin()2sin()2222AABCBCAAB2cos().22BC111111cos2cos()coscoscoscos()cos()22222222sinsin,cossinsin,cossinsin,cos2222(sinsinsin)coscos2(sinsinsin),22sinsinsinABCAABCACBAACBBCACBBBACCCABAABBBCABCCCABCABC同理原式2..A选4．如图，DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线CA垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥AABD与CDBC后，得到一个以平行平面ABDDBC与为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱BA剪开，展平在一张平面上，得到一个11ABBA，而多边形W的周界展开后便成为一条与1AA平行的线段（如图中1EE），显然11AAEE，故l为定值。当E位于BA中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为2243l与2363l，故S不为定值。选B。5.方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线解：),23cos()22cos(,223220,32即.3sin2sin又,03cos2cos,03cos,02cos,32,220方程表示的曲线是椭圆。)()4232sin(232sin22)3cos2(cos)3sin2(sin.0)(,0)4232sin(.423243,432322,0232sin,02322式即.3cos2cos3sin2sin曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221iTaaaaaMTi将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A．43273767575B．43272767575C．43274707171D．43273707171解：用pkaaa][21表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以47，得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.iiMaaaaaTiaaaaaTiM中的最大数为107]2400[]6666[。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而10]396[7]1104[将此数除以47，便得M中的数.74707171432故选C。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.将关于x的多项式2019321)(xxxxxxf表为关于y的多项式)(yg,202019192210yayayayaa其中.4xy则2010aaa61521.解：由题设知，)(xf和式中的各项构成首项为1，公比为x的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121xxxxxf令,4yx得,51)4()(21yyyg取,1y有.615)1(2120210gaaaa8.已知)(xf是定义在),0(上的减函数，若)143()12(22aafaaf成立，则a的取值范围是.51310aa或解：)(xf在),0(上定义，又)13(143;087)41(212222aaaaaa•),1(a仅当1a或31a时，).(01432aa)(xf在),0(上是减函数，,50,05,14312222aaaaaaa结合（＊）知310a或.51a9.设、、满足20，若对于任意)cos()cos(,xxRx,0)cos(x则.34解：设),cos()cos()cos()(xxxxf由Rx，0)(xf知，,0)(,0)(,0)(fff即)cos(,1)cos()cos()cos()cos()cos(.1)cos()cos(,1)cos(},34,32{,,,20.21又,.只有.34.32另一方面，当,32有,,34,32Rx记x，由于三点),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin,(cos))34sin(构成单位圆122yx上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos即.0)cos()cos()cos(xxx10.如图，四面体DABC的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD3.解：,61)45sin21(31