人教版数学必修一初等函数难题

【考点训练】基本初等函数I-1一、选择题（共10小题）1．方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=有唯一不动点，且x1=2，xn+1=（n∈N+），则（x2014﹣1）=（）A．2014B．2013C．1D．02．（2012•泸州二模）设a，b为正实数，，（a﹣b）2=4（ab）3，则logab=（）A．1B．﹣1C．±1D．3．（2014•天津二模）设a＞b＞0，a+b=1且x=（）b，y=loga，z=a，则x，y，z的大小关系是（）A．y＜x＜zB．z＜y＜xC．y＜z＜xD．x＜y＜z4．（2010•广州模拟）若2＜x＜3，，Q=log2x，，则P，Q，R的大小关系是（）A．Q＜P＜RB．Q＜R＜PC．P＜R＜QD．P＜Q＜R5．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，=（）A．B．6C．D．46．函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[]⊆D，使得f（x）在[]上的值域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=logc（cx﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（0，）7．（2012•湖北模拟）已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（）A．3B．2C．1D．O8．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（）菁优网©2010-2014菁优网A．B．C．D．9．已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）﹣f（x）有最小值是4，则a的最小值为（）A．10B．2C．3D．410．（2013•自贡一模）已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A．B．C．D．二、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）11．已知函数f（x）=，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，证明不等式：．12．已知函数f（x）=2x+|x|．（1）解不等式：≤f（x）≤；（2）若关于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．13．设f（x）=（）x﹣3x，解关于x的不等式f（）+f（x）≤0．14．已知α，β满足等式，试求α+β的值．15．如果函数f（x）=ax（ax﹣3a2﹣1）（a＞0且a≠0）在区间[0，+∞）单调递增，那么实数a的取值范围是什么？16．（2007•浦东新区二模）记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．（1）判断函数f（x）=﹣x+1，g（x）=2x﹣1是否是M的元素；（2）设函数f（x）=loga（1﹣ax），求f（x）的反函数f﹣1（x），并判断f（x）是否是M的元素；（3）若f（x）≠x，写出f（x）∈M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．菁优网©2010-2014菁优网17．（2010•徐州一模）设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数图象上的两点，且，点P的横坐标为．（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若，求Sn；（3）记Tn为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．①；②18．（2011•哈尔滨模拟）已知f（x）=ae﹣x+cosx﹣x（0＜x＜1）（1）若对任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：．19．（2009•金山区一模）已知函数f（x）=loga在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．（1）求出m的值，并求出定义域D；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．20．（2004•宝山区一模）已知f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点；（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．菁优网©2010-2014菁优网【考点训练】基本初等函数I-1参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=有唯一不动点，且x1=2，xn+1=（n∈N+），则（x2014﹣1）=（）A．2014B．2013C．1D．0考点：对数的运算性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=有唯一不动点⇔有唯一实数根，化为ax2+（2a﹣1）x=0，由于a≠0，可得△=0，解得a=．f（x）=．由于x1=2，xn+1=，可得，再利用等比数列的通项公式与对数菁优网©2010-2014菁优网的运算性质即可得出．解答：解：函数f（x）=有唯一不动点，∴有唯一实数根，化为ax2+（2a﹣1）x=0，∵a≠0，∴△=（2a﹣1）2﹣0=0，解得a=．∴f（x）=．∵且x1=2，xn+1=，∴xn+1==，∴，∴数列{xn﹣1}是等比数列，∴，∴菁优网©2010-2014菁优网．∴（x2014﹣1）==2013．故选：B．点评：本题考查了新定义“不动点”、等比数列的通项公式与对数的运算性质，考查了等价转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．（2012•泸州二模）设a，b为正实数，，（a﹣b）2=4（ab）3，则logab=（）A．1B．﹣1C．±1D．考点：对数的运算性质．菁优网版权所有专题：综合题．分析：由a，b为正实数，，知a+b，由（a﹣b）2=4（ab）3，知（a+b）2=4ab+（a﹣b）2=4ab+4（ab）3≥4=8（ab）2，故菁优网©2010-2014菁优网，所以a+b=2ab，由此能够求出logab．解答：解：∵a，b为正实数，，∴a+b，∵（a+b）2=4ab+（a﹣b）2=4ab+4（ab）3≥4=8（ab）2，∴，①故a+b=2ab，②由①中等号成立的条件知ab=1，与②联立，解得，或．∴logab=﹣1．故选B．点评：本题考要对数性质的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注菁优网©2010-2014菁优网意均值不等式的灵活运用．3．（2014•天津二模）设a＞b＞0，a+b=1且x=（）b，y=loga，z=a，则x，y，z的大小关系是（）A．y＜x＜zB．z＜y＜xC．y＜z＜xD．x＜y＜z考点：对数值大小的比较．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数和指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a＞b＞0，a+b=1，∴，∴y=loga＜z=a，即y＜z．∵a＞b＞0，a+b=1，∴，，0＜b＜a＜1．∴z=a=0，=1．∴x＞z．∴y＜z＜x．故选：C．菁优网©2010-2014菁优网点评：本题考查了对数函数和指数函数的单调性，属于难题．4．（2010•广州模拟）若2＜x＜3，，Q=log2x，，则P，Q，R的大小关系是（）A．Q＜P＜RB．Q＜R＜PC．P＜R＜QD．P＜Q＜R考点：对数值大小的比较；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．菁优网版权所有专题：计算题；综合题．分析：利用指数函数与对数函数及幂函数的性质可得到＜P＜，Q＞1，R＞，再构造函数x=22t，通过分析y=2t和y=2t的图象与性质，得到结论．解答：解：P=在x∈（2，3）上单调递减，＜P＜；Q=log2x在x∈（2，3）上单调递增Q＞1；R=在x∈（2，3）上单调递增，R＞，显然需要比较的是菁优网©2010-2014菁优网Q，R的大小关系．令x=22t，这是一个单调递增函数，显然在x∈（2，3）上x与t一一对应，则1＜Q=log2x=2t，R=2t＜，∴＜t＜log23＜•log24=1，在坐标系中做出y=2t和y=2t的图象，两曲线分别相交在t=1和t=2处，可见，在t＜1范围内y=2t小于y=2t，在1＜t＜2范围内y=2t大于y=2t，在t＞2范围内y=2t小于y=2t，∵＜t＜1，∴2t＜2t，即R＞Q；∴当2＜x＜3时，R＞Q＞P．故选D．点评：本题考查对数值大小的比较，难点在于Q，R的大小比较，考查构造函数，通过指数函数菁优网©2010-2014菁优网与一次函数的图象与性质分析解决问题，考查学生综合分析与解决问题的能力，属于难题．5．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，=（）A．B．6C．D．4考点：对数的运算性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：由不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga可得，利用对数函数的单调性可得，由于a，b，x∈N*，关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，可得，化为．由于a≤b．可得ab≥51+1，再利用基本不等式即可得出．解答：解：由不等式lgb﹣lga＜lgx菁优网©2010-2014菁优网＜lgb+lga可得，∴，∵a，b，x∈N*，关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，∴52＞，∵a，b，x∈N*，a≤b．∴（a=1时不成立），∴．令g（a）=，∵a≥2，可知g（a）单调递减．当a=2时，，取ab=68时，b=34．取ab=69，b不是整数，舍去．因此ab的最菁优网©2010-2014菁优网大值为68．∴当ab取最大可能值时，=6．故选：B．点评：本题考查了集合的意义、基本不等式的性质，考查了推理能力，属于难题．6．函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[]⊆D，使得f（x）在[]上的值域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=logc（cx﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（0，）考点：对数函数的图像与性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数的单调性，先判断函数f（x）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．解答：解：若c＞1，则函数y=cx﹣t为增函数，y=logcx，为增函数，∴函数f（x）=logc（cx﹣t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y=cx﹣t为减函数，y=logcx，为减函数，∴菁优网©2010-2014菁优网函数f（x）=logc（cx﹣t）为增函数，综上：函数f（x）=logc（cx﹣t）为增函数，若函数f（x）=logc（cx﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则，即，即，是方程x2﹣x+t=0上的两个不同的正根，则，解得0＜t＜，故选：D点评：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，判断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．菁优网©2010-2014菁优网7．（2012•湖北模拟）已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（）A．3B．2C．1D．O考点：对数的运算性质；函数单调性的判