直线与平面所成的角教学设计

第九章立体几何289.3.2直线与平面所成的角【教学目标】1.了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2.注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．【教学重点】直线与平面所成的角．【教学难点】斜线与平面所成的角．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1．直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理．2．直线与平面的位置关系．直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）．师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练．课前复习，为新课的学习扫清障碍．新课1．平面的斜线如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段．如图，AB是平面的斜线，B是斜足，AB是斜线段．2．直线与平面所成的角从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示．如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)；教师给出定义．学生理解并记忆定义．重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其引导学生在理解的基础上记忆．此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础．BA数学基础模块下册29新课如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0的角．一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线与平面所成的角．如图，设线段AB在平面内的射影为AB，且AB与平面所成的角为．易证|AB|＝|AB|cos．练习设线段AB＝l，且AB与平面所成的角为，求线段AB在平面内的射影AB长：（1）l＝6，＝3；（2）l＝10，＝0；（3）l＝8，＝2．例1如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝1，AA1＝2．求对角线A1C与平面ABCD所成的角．解连接AC，由题意知△A1AC为直角三角形，且A1AC＝90．又由题意，可知AC＝AB2＋BC2＝12＋12＝2．而AA1＝2，所以ACA1＝45．因此A1C与平面ABCD所成的角为45．例2如图，已知PA是平面的斜线，PO，a，aAO．求证：aPA．射影．学生练习．展示图形，要求学生找出对角线A1C所在直线在平面ABCD上的射影，讨论如何作图．教师引导学生对定理进行结构分析，明确各元素之间的制约关系，指导学生抓住“四线一面”中“垂线”这个关键条件．可借助三角板与铅教师用问题引导学生一步步分析如何作出斜线与平面所成的角，培养学生思维的条理性．此题看似简单，但每一步都分别应用了线面垂直的定义、判定定理等，教师必须在每一步后注明所用定理，给学生以明确的思维指导．PAOaABCDA1B1C1D1BABA第九章立体几何30新课证明：因为PO，a，所以POa．（线面垂直的定义）又因为AOa，且PO∩AO＝O，所以a平面PAO．（线面垂直的判定）又因为PA平面PAO，所以aPA．（线面垂直的定义）例2中，AO是斜线PA在平面内的射影，通常例2的结论也叫做三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．练习1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，写出对角线B1D1与平面AC，平面BA1，平面BC1所成的角，并求这些角的余弦值．2．如图所示，PA为平面的斜线，PO，a，aPA．求证：aAO．该结论叫做三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．笔演示三垂线定理，给学生以直观印象．师生合作共同完成．学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师了解学生对本节课的掌握情况．小结1．平面的斜线的定义．2．理解直线与平面所成的角的概念，并会求直线与平面所成的角．教师引导梳理．作业教材P131练习A组第3题．教材P131练习B组第1题（选做）PAOa