1.3.1函数的单调性和最大小值

------函数的单调性一、引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随x的增大，y的值有什么变化？x1-11y-1-1画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x)=x①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．2．f(x)=-2x+1①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．上升（-∞，+∞）增大下降（-∞，+∞）减小3．f(x)=x2①在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．②在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．x…-4-3-2-101234…f(x)…16941014916…(-∞,0]减小（0，+∞）增大y246810O-2x84121620246210141822I对区间I内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)图象在区间I逐渐上升？OxIy区间I内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间I内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升对区间I内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)O设函数y=f(x)的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上的任意当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，定义MN任意两个自变量的值x1,x2，I称为f(x)的单调增区间.那么就说f(x)在区间I上是单调增函数，区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升I那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，I称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为D,区间ID.如果对于属于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为D,区间ID.如果对于属于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，I称为f(x)的单调区间.增当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，单调区间注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间I内的任意两个自变量x1，x2；③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。（2）对于区间（a,b）上得某3个自变量的值x1,x2,x3,当时，有则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。123()()()()()fafxfxfxfb123axxxb2．单调性与单调区间如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得,但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；1x2x)(1xf)(2xf)(xf?5yx12()()fxfx⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.思考1：一次函数的单调性，单调区间：)0(kbkxy思考2：二次函数的单调性，单调区间：)0(2acbxaxy（二）典型例题例1如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.)(xf图6yx-5-2135•书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。练习：判断函数的单调区间。2()2fxxxxxxxf2)(2y21o单调递增区间：单调递减区间：]1,(),1[例2物理学中的玻意定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的单调性证明之.kpV=二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）．3．证明函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．）上是增函数。，（在区间证明函数xxf12)(.例2内任意是区间设),(,x21x121212()()(21)(21)2(x)fxfxxxx0x,2121xxx0)()(21xfxf)()(21xfxf即证明：。两个实数，且x21x),(12)(在区间则函数xxf是增函数。（取值）（作差）（下结论）（定号）.23)(.2上是增函数在证明函数练习Rxxf证明：f（x1）＜f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）由x1＜x2，得x1－x2＜0.23)(上是增函数在函数Rxxf设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则探究：P30画出反比例函数的图象．①这个函数的定义域是什么？②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．xy1思考3：反比例函数的单调性，单调区间：)0(kxky.),0(1)(.3减函数？证明你的结论上是增函数还是在函数例xxf证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx0),0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.),0(1)(上是减函数在函数xxf1－1－1Oxy1f（x）在定义域上是减函数吗？减函数取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-1＜1f（-1）＜f（1）例3讨论函数在(-2,2)内的单调性.322axxf(x)变式1：若二次函数2()4fxxax在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范围。变式2：若二次函数2()4fxxax的递增区间是（-∞,1]，则a的取值情况是()fx是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求适合的的取值范围()fx(2)(1)fxfx()2()0fxfx或x()fx是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式(2)(1)fxfx的单调区间。求函数34xxy2练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(X)=f(x)-g(x)为减函数。三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.直接利用初等函数的单调区间。四、作业布置书面作业：课本P39A组：第2题2(选做)证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.------函数的最大（小）值画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？(1)(2)()23[0,3]fxxx12)(2xxxfxyo2oxy-11．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。2．最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．注意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值统称为最值。.)(1,1)(,),()(12的最大值为函数则都有任意、函数xfxfRxRxxxf判断以下说法是否正确。.)(,)(,)(,)(,,,),,(,)(3003020132100yxfyxfyxfyxfxxxyxPbaxf的最小值为则函数有自变量对于），已知点的定义域为（、函数2、设函数，则成立吗？的最大值是2吗？为什么？2()1fxx()2fx()fx例3“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:29)9.4(47.1418)9.4(45.1)9.4(27.142ht时，函数有最大值当于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.例3求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．12xy解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1x2,则)1)(1()(2)1)(1()]1()1[(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x26,得x2-x10,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf即所以，函数是区间[2,6]上的减函数.12xy因此,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.12xy12xy（二）判断函数的最大(小)值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值2.利用图象