小波变换与应用

小波变换与应用一、小波变换1.小波2.小波变换3.离散小波变换二、Haar小波变换1.哈尔函数2.求均值和差值3.哈尔变换的特性4.一维哈尔小波变换5.二维哈尔小波变换三、阅读和练习作业一、WaveletTransform小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具。它是继110多年前的傅里叶(JosephFourier)分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。本教学提纲企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料1.Whatiswavelet一种函数具有有限的持续时间、突变的频率和振幅波形可以是不规则的，也可以是不对称的在整个时间范围里的幅度平均值为零比较正弦波部分小波波形小波的定义Waveletsareaclassofafunctionsusedtolocalizeagivenfunctioninbothspaceandscaling.Afamilyofwaveletscanbeconstructedfromafunction,sometimesknownasamotherwavelet,whichisconfinedinafiniteinterval.Daughterwaveletsarethenformedbytranslation(b)andcontraction(a).Waveletsareespeciallyusefulforcompressingimagedata,sinceawavelettransformhaspropertieswhichareinsomewayssuperiortoaconventionalFouriertransform.()x(,)()abxAnindividualwaveletcanbedefinedbyandCalderón'sformulagivesThenAcommontypeofwaveletisdefinedusingHaarfunctions.2.WaveletTransform老课题函数的表示方法新方法FourierHaarwavelettransform(1)1807:JosephFourier傅里叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅里叶展开式。用傅里叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅里叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。傅里叶变换的定义：Amathematicaldescriptionoftherelationshipbetweenfunctionsoftimeandcorrespondingfunctionsoffrequency;amapforconvertingfromonedomaintotheother.Forexample,ifwehaveasignalthatisafunctionoftime--animpulseresponse--thentheFourierTransformwillconvertthattimedomaindataintofrequencydata,forexample,afrequencyresponse.()(2)1910:AlfredHaar发现Haar小波哈尔(AlfredHaar)对在函数空间中寻找一个与傅里叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现了小波，1910年被命名为Haarwavelets他最早发现和使用了小波。(3)1945:Gabor提出STFT20世纪40年代Gabor开发了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的时间-频率关系图(4)1980:Morlet提出了CWTCWT(continuouswavelettransform)20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家JeanMorlet提出了小波变换WT(wavelettransform)的概念。20世纪80年代,从STFT开发了CWT：Definition-BasisFunctions:asetoflinearlyindependentfunctionsthatcanbeused(e.g.,asaweightedsum)toconstructanygivensignal.where:a=scalevariable－缩放因子k=timeshift－时间平移h*=waveletfunction－小波函数用y=scaled(dilated)andshifted(translated)Motherwaveletfunction,在CWT中，scale和position是连续变化的缩放(scaled)的概念例1：正弦波的算法缩放(scaled)的概念(续)例2：小波的缩放平移(translation)的概念(5)CWT的变换过程可分成如下5个步骤步骤1:把小波和原始信号的开始部分进行比较步骤2:计算系数c。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数c的值越高表示信号与小波越相似，因此系数c可以反映这种波形的相关程度步骤3:把小波向右移，距离为，得到的小波函数为，然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号结束步骤4:扩展小波，例如扩展一倍，得到的小波函数为步骤5:重复步骤1~4(a)二维图(b)三维图连续小波变换分析图(6)三种变换的比较(7)1984:subbandcoding(BurtandAdelson)SBC(subbandcoding)的基本概念：把信号的频率分成几个子带，然后对每个子带分别进行编码，并根据每个子带的重要性分配不同的位数来表示数据20世纪70年代，子带编码开始用在语音编码上20世纪80年代中期开始在图像编码中使用1986年Woods,J.W.等人曾经使用一维正交镜像滤波器组(quadraturemirrorfilterbanks，QMF)把信号的频带分解成4个相等的子带图(a)正交镜像滤波器(QMF)图中的符号表示频带降低1/2，HH表示频率最高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程可以重复，直到符合应用要求为止。这样的滤波器组称为分解滤波器树(decompositionfiltertrees)图(b)表示其相应的频谱(8)20世纪80年代Mallat,Meyer等人提出multiresolutiontheory法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(translations)均为2的j次幂的倍数构造了平方可积的实空间L2(R)的规范正交基，使小波得到真正的发展小波变换的主要算法由法国的科学家StephaneMallat提出S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨率分析(multiresolutionanalysis)的概念,从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅里叶变换在经典傅里叶分析中的地位。小波分解得到的图像(9)著名科学家InridDaubechies，RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献InridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实在信号处理中，自从S.Mallat和InridDaubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中得到极其广泛的应用。……经过十几年的努力，这门学科的理论基础已经基本建立，并成为应用数学的一个新领域。这门新兴学科的出现引起了许多数学家和工程技术人员的极大关注，是国际科技界和众多学术团体高度关注的前沿领域。小波变换3.离散小波变换在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择(j.0的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadicwavelettransform)，它是离散小波变换(discretewavelettransform，DWT)的一种形式。使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图所示。图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅里叶变换(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的时间-频率关系图图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。3.离散小波变换(续)离散小波变换分析图DWT变换方法执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号A表示信号的近似值(approximations)D表示信号的细节值(detail)在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。双通道滤波过程离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树(waveletdecompositiontree)分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要小波分解树(a)信号分解(b)系数结构(c)小波分解树小波分解树小波包分解树小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(waveletpacketdecompositiontree)，这种树是一个完整的二进制树。三级小波包分解树图表示的是一棵三级小波包分解树。小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解树允许信号S表示为1332SAAADDADDD降采样过程在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍。例如，如果原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样(downsampling)的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示降采样过程如图所示。图中的符号表示降采样。小波变换的定义Atransformwhichlocalizesafunctionbothinspaceandscalingandhassomedesirab