最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结

人教版九年级数学上册知识点总结第1页共8页21.1一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：1.只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2降次——解一元二次方程22.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。22.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=aacbb242，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根22.2．3因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。(2)因式分解法的详细步骤：人教版九年级数学上册知识点总结第2页共8页①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当ab=0，则a=0或b=0一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。22.2.4一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=ab,x1x2=ac21.3实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。(2)设：是指设元，也就是设出未知数。(3)列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。(4)解：就是解方程，求出未知数的值。(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。(6)答：写出答案。知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型(1)数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.(2)增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1x)2=b。(3)利润问题利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率(4)图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。22二次函数知识点归纳1.表达式：①一般式：2yaxbxc（0a）；②顶点式：2yaxhk（0a）③交点式：y=a(x–x1)(x–x2)（a≠0）2.顶点坐标：①（2ba，244acba）②（h，k）3.顶点意义：①当2bxa时，0a，y有最小值为244acba；0a，y有最大值为244acba②当hx时，0a，y有最小值为k；0a，y有最大值为k4.a的意义：0a，图象开口向上；0a，图象开口向下；12aa两函数图象大小形状相同.（即a相等的抛物线为全等型抛物线）人教版九年级数学上册知识点总结第3页共8页5.对称轴：①2bxa；②hx；③122xxx（其中x1、x2为抛物线上对称点的横坐标）6.对称轴位置分析：①0b，对称轴为y轴；②0ab，即a、b异号，对称轴在y轴的右侧；③0ab，即a、b同号，对称轴在y轴的左侧；（左同右异）7.增减性：①0a，2bxa（或x＞h）时，y随x的增大而增大；2bxa（或x＜h）时，y随x的增大而减小；②0a，2bxa（或x＞h）时，y随x的增大而减小；2bxa（或x＜h）时，y随x的增大而增大8.抛物线2yaxbxc与y轴的交点为（0，c），c值为抛物线在y轴上的截距.9.抛物线与x轴的交点：①240bac时，抛物线与x轴有一个交点；②240bac时，抛物线与x轴有两个交点；③240bac时，抛物线与x轴没有交点.10.图象的平移：化成顶点式2yaxhk，上加下减：km；左加右减：hm11．设抛物线与x轴交于A、B两点，则ABa或2121212()4ABxxxxxx12．抛物线上重要的点：抛物线与x轴、y轴的交点坐标，以及顶点坐标解题中经常会用到，所以同学们应能熟练地由解析式求这些点的坐标.13．二次函数与一元二次方程根的分布：①若抛物线与x轴的两个交点在正半轴上，则212124000bacbxxacxxa；②若抛物线与x轴的两个交点在负半轴上，则212124000bacbxxacxxa；③若抛物线与x轴的两个交点分别在正、负两半轴上，则212400baccxxa④若抛物线与x轴的两个交点只有一个点在mxn范围内，则f(m)·f(n)014．抛物线的变换：人教版九年级数学上册知识点总结第4页共8页xyOx1x2①关于x轴对称：2yaxbxc代入(x,–y）2yaxbxc②关于y轴对称：2yaxbxc代入(–x,y）2yaxbxc③关于原点对称：2yaxbxc代入(–x,–y）2yaxbxc④关于顶点对称：2yaxhk关于（h,k）对称2yaxhk15．抛物线2yaxbxc与直线y=mx+n的位置关系：两式消掉y，得2()0axbmxcn，2()4()bmacn，①＞0相交，两解析式组成的方程组的解即为图象交点坐标；②＜0相离；③=0相切.16．二次函数与二次不等式：若抛物线2yaxbxc与x轴交于（x1,0）、（x2,0），①a＞0时，20axbxc解集为x＜x1或x＞x2；20axbxc时，解集为x1＜x＜x2；①a＜0时，20axbxc解集为x1＜x＜x2；20axbxc时，解集为x＜x1或x＞x217．二次函数与一次函数值的比较：如图：x＜x1或x＞x2时，二次函数值大于一次函数值；；x1＜x＜x2时，二次函数小于一次函数值.23.1图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二旋转的性质旋转的特征：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。(3)图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(2)对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。23.2中心对称知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。知识点三中心对称的性质人教版九年级数学上册知识点总结第5页共8页有以下几点：(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)且相等。知识点四中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。24.1圆24.1.1圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为