三年级奥数-等差数列

小学三年级奥数专项练题《等差数列(一)》【课前】(★)请观察下面的数列，找规律填数字。①5，9，13，17，21，_____；②7，11，15，19，_____，27，_____，35；③200，180，160，140，_____；④102，92，82，72，____，52。【知识要点屋】1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。2．特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。3．名词：公差，首项，末项，项数5，9，13，17，21，25(★★★)⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______；⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。(★★★)一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。【铺垫】(★★)计算下面的数列和：3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝_____。(★★★)计算下列各题⑴1＋2＋3＋4＋„＋23＋24＋25＝_____；⑵1＋5＋9＋13＋„＋33＋37＋41＝_____。1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？解答：d=（40-10）÷(4+1)=6，插入的数是：16、22、28、34。2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。解答：d=（55-6）÷（8-1）=7（1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有()项。（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（）项。（1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有()项。解答：（30-2）÷2+1=15（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（）项。解答：（62-2）÷6+1=11（1）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（）。（2）今天是周日，再过78天是周几？（1）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（）。解答：（98-11）÷3＋1=30（2）今天是周日，再过78天是周几？解答：（78＋1）÷7=11……2，所以是周一。在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题。在三年级我们已经介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得准确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和的规律。1+2+3+?+98+99+100=（1+100）+（2+99）+?+（50+51）=101×50，即（100+1）×（100÷2）=101×50=5050按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如：1，2，3，4，?是等差数列,公差是1;1，3，5，7，?是等差数列，公差是2；5，10，15，20，?是等差数列，公差是5.由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律：项数=（末项-首项）÷公差+1；第几项=首项+（项数-1）×公差；总和=（首项+末项）×项数÷2.本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值。我们要求同学们注意灵活应用这三个公式。【例题精讲】例1计算下面各题：（1）2+5+8+?+23+26+29；（2）（2+4+6+?+100）-（1+3+5+?+99）。解（1）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数为（29-2）÷3+1=10的等差数列求和。原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155（2）解法一：原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50；解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?+（100-99）=1×50=50.说明两种解法相比较，解法一直套着公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+?+1”，从而解得更巧、更好。例2计算：1÷2003+2÷2003+3÷2003+?+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003.分析：如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，?，2001，2002，2003.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商。解原式=（1+2+3+?+2002+2003）÷2003=（1+2003）×2003÷2÷2003=1002.说明此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算，使整个解答显得简捷明快。例3某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖。比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人??第十五名并列15人。用最简便方法计算出得奖的一共又多少人？分析：通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：1，2，3，?，15.因此，根据求和公式可以求出获奖总人数。解：（1+15）×15÷2=16×15÷2=120（人）例4某体育馆西侧看台上有30排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最后一排有132个座位。体育馆西侧看台共有多少个座位？分析：要求这30个数的和，必须知道第一排的座位数，而最后一排的座位数是由第一排座位数加上（30-1）×2得出来的，这样就可以求出第一排的座位数。解：第一排的座位数为：132-2×（30-1）=132-58=74（个）所以（74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（个）例5学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。（1）（2）若有20人比赛，那么一共要进行多少场选拔赛？若一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？分析设20个选手分别是A1,A2,A2,?,A20,我们从选手A1，开始按顺序分析比赛场次：A1必须和A2，A3，A4，?，A20这19人各赛一场，共计19场；A2已和A1赛过，他只需和A3，A4，A5，?，A20这18名选手各赛一场，共计18场；A3已和A1，A2赛过，他只需与A4，A5，A6，?，A20这17名选手各赛一场，共计17场；依次类推，最后，A19只能和A20赛一场。然后对各参赛选手的场次求和即可。解（1）这20名选手一共需赛19+18+17+?+2+1=（19+1）×19÷2=190（场）。（2）设参赛选手有n人，则比赛场次是1+2+3+?+（n-1），根据题意，有1+2+3+?+（n-1）=78,经过试验可知，1+2+3+?+12=78，于是n-1=12，n=13，所以，一共有13人参赛。说明，（1）也可这样想，20人每人都要赛19场，但“甲与乙”“乙与甲”只能算一场，因此，共进行20、×19÷2=190（场）比赛。（2）采用了试验法，这是一种很实用的方法，希望同学们能熟练掌握。作业：1,等差数列求和公式（首项，末项，公差已经知道）和=2、等差数列求末项公式（首项，公差，相数已经知道）末项=3、等差数列项数公式：（首相，公差，末项已知）项数=4、求和：100+102+104+106+108+110+112+114995+996+997+998+9991+3+5+7+…+37+39（1+3+5+…+1999）-(2+4+6+8+…+1998)5、应用题a.自1开始，每隔两个数写出一个数来，得到的数列为1,4,7,10,13,,,,求出这个数列前100项的和b.影剧院有座位若干排，第一排座位25个，以后每排比第一排多3个位置，最后一排有94个座位，请问，这个影剧院共有多少个座位?c.小红读一本书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完，请问这本小说多少页？