直角坐标系解决立体几何问题

在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。Ⅰ、空间直角坐标系的建立空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容)1．向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:若a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),且a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},则⑴a·b=|a||b|cosθ或a·b=x1x2+y1y2+z1z2⑵若a与b非零向量cosθ=baba=222222212121212121xzzyyxxzyxzy2．向量的数量积的几何性质:⑴两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0⑵两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤：（1）根据图形建立合理的空间直角坐标系；（2）确定关键点的坐标；（3）求空间向量的夹角；（4）得出异面直线的所成角。D1xyo.Mxyo.M平面直角坐标系空间直角坐标系z用向量解决角的问题①两条异面直线a、b间夹角在直线a上取两点A、B，在直线b上取两点C、D，若直线a与b的夹角为，则cos|cos,|ABCDCDABCDAB。注意,由于两向量的夹角范围为180,0,而异面直线所成角的范围为900，若两向量夹角为钝角,转化到异面直线夹角时为180°例1：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=6,求异面直线DA1与AC1的所成角；分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？（异面直线平移相交，求相交直线的交角）问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？（求向量DA1与AC1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系）问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。（以DA为X轴，以DC为Y轴，以DD1为Z轴）问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？（请学生个别回答）例2．直棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为4的菱形,且∠DAB=60°，AA1=6，AC与BC交于E，A1C1与B1D1交于E1，（1）求：DA1与AC1的所成角；（2）若F是AE1的中点，求：B1E与FD1的所成角；DCAB②直线a与平面所成的角（如图11）可转化成用向量a与平面的法向量n的夹角表示，由向量平移得：若2时2（图21）；若2时2（图31）.平面的法向量n是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由n可知，要求得法向量n，只需在平面上找出两个不共线向量a、b，最后通过解方程组00nbna得到n.例4、在直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，D、E分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，求直线BA1与平面ABD所成角正弦值.分析：题中显然所求的角为BGA1，但在BGA1中没有求解的条件.由题中条件，可轻易建立坐标系（如图），由直三棱柱只知高度为2，所以设底面直角边aCA，从而算得立体中各点的坐标，如1,2,2aaE、31,3,3aaG，由0ADGE得2a，得向量32,31,31GE、1,1,1BE，由数量积得32,cosBEGE，由所求角等于BEGE,的余角，∴BA1与平面ABD所成的角的正弦值为32,cos)2sin(sinBEGE。xyzABCC1A1B1GDEnanana图1－2图1－1图1－3③求二面角的大小已知二面角α—l—β，21n,n分别是平面α和平面β的一个法向量，设二面角α—l—β的大小为θ，规定0≤θ≤π，则21n,n（这里若平面α的法向量是二面角的内部指向平面α内的一点，则平面β的法向量必须是由平面β内的一点指向二面角的内部，如图2-1，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角21n,n，如图2-2）（二面角的大小（如右图），也可用两个向量所成的夹角表示，在、上分别作棱的垂线AB、CD（A、C），从图中可知：等于AB、CD所成的角.）例8.三棱柱111BAOOAB，平面11OOBB平面OAB，601OBO，90AOB且21OOOB，3OA，求：二面角OABO1的余弦值大小.2-12-2xyzABOA1B1O1H1HABCDl分析：以点O为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过O且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立直角坐标系，则0,0,0O、3,1,01O、0,0,3A、0,2,0B.作ABOH、ABHO11，结合H、1H在AB上，算得0,76,734OH，3,73,73211HO，从而算得11,cosHOOH，即为所求.例9.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=21，AB=BC=1，AD=21。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值大小。解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，21），A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（21，0，0），∴)21,1,0(),21,0,0(SBSA)21,1,1(),21,0,21(SCSD，显然平面SBA的一个法向量为1n=(1，0，0)，设平面SCD的一个法向量为2n=(x，y，z)，则2n⊥平面SCD∴)212(,2022000222,,nzzyxzxSCnSDn则取则323121||||,cos212121nnnnnn在角与距离问题的方法上，向量运用的关键在于认识角、距离与向量的关系、从而使立体几何教学显得简明易懂，提高教学效果。在进行向量与立体图形相关问题进行教学时，需要注意一下几点:强化数形结合的思想，加强学生运算能力的培养和提高引导学生理解本章向量垂直与平行的判断或证明与直线垂直与平行的联系和区别；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。AzyxDCBS用向量解决距离问题①两点BA,间距离||AB由ABABAB2可算出；若baAB，则由数量积得babaAB2222，若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式.②点P到直线AB的距离过点P作直线AB的垂线PD，垂足为D，则由ABPD且点DBA,,共线得ABADABPD,0，解出D点后再求||PD。例1、直角坐标系中的三点3,1,0A，0,0,3B，0,2,0C，求点A到直线BC的距离。解：过A作BCAH，垂足为H设BCBH，∵0,2,3BC∴0,2,30,2,3BH，则H点坐标为0,2,33∴AH3,12,33，又∵0BCAH，∴02433，75，∴3,73,732AH，724AH③异面直线a、b的距离可先设a、b的公垂线段EF（aE、bF），再由垂直向量性质得00EFbEFa，从而得到E、F的坐标，最后算出所求EF.例2、正方体1111DCBAABCD的边长为1，求异面直线CA1、BD的距离？BCDAB1C1D1A1yxzEF分析：从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好.建立直角坐标系，设EF是所求的公垂线，令BDBE、CAkFA11，则0,1,1BE、E的坐标为0,,1，同理kkkF1,,，再由0BDEF、01CAEF，算得21、32k，最后算出EF、66EF.这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技巧.④点P到平面的距离h先设平面的斜线为PAA，再求的法向量n，运用向量平移，不难得到推论“h等于PA在法向量n上的射影nnPA的绝对值”，即nnPAh，最后由此算出所求距离.例3、正四棱柱1111DCBAABCD，1AB，21AA，E是1CC的中点，求点1D到平面BDE的距离.分析：如图建立直角坐标系，得各点坐标，设平面BDE的法向量为),,(zyxn，由00DBnDEn，得00yxzy；令1y，得法向量)1,1,1(n∴ED1在n上的投影为3321nnED，∴点1D到平面BDE的距离为332.此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方EABCDA1B1C1D1yxz法很多，也很复杂。运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。④两平行平面,之间的距离由平行平面间的距离定义知道，平面上任意一点A到的距离就是到的距离，因此，我们也可把到的距离转化为A到的距离，运用求点与面距离的方法来求。1、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在,ABC0中,ABC=60,0BAC=90ADBC是上的高，沿AD把ABD折起，使0BDC=90（Ⅰ）证明：平面ADBBDC平面；（Ⅱ）设EBCDB为的中点,求AE与夹角的余弦值。2、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2,60ABBAD.(Ⅰ)求证：BD平面;PAC（Ⅱ）若,PAAB求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.3、(2011年高考全国新课标卷理科18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。1、【解析】：（Ⅰ）折起前ADBC是边上的高，当ABC折起后,ADDC,ADDB,又DBDC=D,,ADBDCADABDABDBDC平面平面平面平面。（Ⅱ）由0BDC=90及（Ⅰ）知,,DADBDC两两垂直，不妨设1,DBD为坐标原点，以,,,,DBDCDAxyz所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得13(0,0,3),(,,0),22AE(0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),DBC13(,,3),22AE(3,0,0)DBAEDB与夹角的余弦值为1222cos,22224AEDBAEDBAEDB2、证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所