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北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案:一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)1/8一元二次方程讲义1.掌握一元二次方程的概念;2.掌握一元二次方程的解法(公式法、因式分解法).1.一元二次方程的定义及一般形式:(1)等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式2(二次)的方程,叫做一元二次方程。(2)一元二次方程的一般形式:_________。其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。注意:三个要点,①只含有一个未知数;②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:形如2()(0)xabb的方程可以用直接开平方法解,两边直接开平方得xab或者xab,xab。注意:若b0,方程无解(2)配方法:用配方法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤①二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;②移项:使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项;③配方:方程两边都加上一次项系数一般的平方,把方程化为2()(0)xmnn的形式;④用直接开平方法解变形后的方程。注意:当0n时,方程无解(3)公式法:一元二次方程20(0)axbxca根的判别式:_________________0方程有两个不相等的实根:242bbacxa(240bac)()fx的图像与x轴有两个交点0方程_____________实根()fx的图像与x轴有一个交点0方程无实根()fx的图像与x轴没有交点北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案:一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)2/8(4)因式分解法通过因式分解,把方程变形为(-)(-)0axmxn,则有=xm或xn。步骤:①将方程的右边化为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③另每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,他们的解救是原方程的根。注:(1)因式分解常用的方法(提公因式、公式法、十字相乘法)在这里均可使用,其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。①提公因式法:把多项式的公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式②公式法:平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.(2)此法可拓展应用于求解高次方程。参考答案:1.(2)20(0)axbxca2.(3)24bac,有两个相等的1.一元二次方程的定义【例1】下列方程中是一元二次方程的序号是.42x①522yx②③01332xx052x④5232xx⑤412xx⑥【解析】根据一元二次方程的定义判定即可,等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式2(二次)的方程,叫做一元二次方程。【答案】①③④⑤练习1.已知,关于x的方程12)5(2axxa是一元二次方程,则a【答案】≠-5练习2.当k时,方程05)3()4(22xkxk不是关于x的一元二次方程.【答案】±22.一元二次方程根的情况【例2】若关于x的方程052kxx有实数根,则k的取值范围是.【解析】根据一元二次方程的△的正负,来判断方程的根的情况,有实数根是△≥0,代入a,b,c计算即可。【答案】k≤425练习3.已知:当m时,方程0)2()12(22mxmx有实数根.北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案:一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)3/8【答案】≥0.75练习4.关于x的方程0)4(2)1(222kkxxk的根的情况是___________.【答案】没有实数解【例3】不解方程,判别方程的根的情况:04x3x22【解析】要判定上述方程的根的情况,只要看根的判别式ac4b2的值的符号就可以了.注意:对有些方程要先将其整理成一般形式,再正确确定a、b、c的符号.【答案】解:∵a=2,b=3,c=-4,∴041)4(243ac4b22.∴方程有两个不相等的实数根.练习5.y249y162【答案】∵a=16,b=-24,c=9,∴09164)24(ac4b22.∴方程有两个相等的实数解.练习6.0x7)1x(52【答案】将方程化为一般形式0x75x52,05x7x52.∵a=4,b=-7,c=5,∴554)7(ac4b22=49-100=-510.∴方程无实数解.3.一元二次方程的解法【例4】解方程2)3x(2.【解析】如果把x+3看作一个字母y,就变成解方程2y2了.注意:对可用直接开平方法来解的一元二次方程,一定注意方程有两个解;若ax2,则ax;若b)ax(2,则abx.【答案】解:2)3x(2,23x,23x23x,或,∴23x23x21,.练习7.解方程025x2.北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案:一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)4/8【解析】解一元二次方程的方法有四种,而此题用直接开平方法较好.【答案】解:025x2,25x2,25x,x=±5.∴5x5x21,.练习8.解方程081)2x(42.【解析】解此题虽然可用因式分解法、公式法来解,但还是用直接开平方法较好.【答案】解:081)2x(42整理,81)2x(42,481)2x(2,292x,∴25x213x21,.【例5】用配方法解方程x73x22.【解析】解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解,但配方法的方法本身重要,要记住.注意:用配方法解一元二次方程,要把二次项系数化为1,方程左边只有二次项,一次项,右边为常数项,然后方程两边都加上一次项系数一半的平方,左边就配成了一个二项式的完全平方.【答案】解:x73x22,023x27x2,0234747x27x22,162547x2,∴4547x.∴21x3x21,.练习9.x2+8x-2=0【答案】12324,324xx练习10.2x2-x=6【答案】123,22xx【例6】解方程02x3x2.北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案:一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)5/8【解析】此题不能用直接开平方法来解,可用因式分解法或用公式法来解.注意:用公式法解方程时,要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值,先计算“△”的值,若△0,则方程无解,就不必解了.【答案】解法一:02x3x2,(x-2)(x-1)=0,x-2=0,x-1=0,∴2x1x21,.解法二:∵a=1,b=-3,c=2,∴01214)3(ac4b22,∴213x.∴1x2x21,.练习11.(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)【答案】原方程可变形为(x-2)(3x-1-4x-1)=0,即(x-2)(-x-2)=0.x-2=0或-x-2=0.∴x1=2,x2=-2.练习12.4x2-20x+25=7【答案】原方程可变形为2x2-10x+9=0,∵a=2,b=-10,c=9,b2-4ac=(-10)2-4×2×9=28>0,∴x=222810=47210∴x1=275,x2=275.【例7】解关于x的方程0n)nm2x3(mx22.【解析】先将原方程加以整理,化成一元二次方程的一般形式,注意此方程为关于x的方程,即x为未知数,m,n为已知数.在确定0ac4b2的情况下,利用公式法求解.【答案】解:把原方程左边展开,整理,得0)nmnm2(mx3x222.∵a=1,b=-3m,22nmnm2c,∴)nmnm2(14)m3(ac4b222222n4mn4m0)n2m(2.∴2)n2m(m3x22)n2m(m3.∴nmxnm2x21,.练习13.x2+px+q=0(p2-4q≥0).【答案】242ppqx北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案:一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)6/81.下列方程中,常数项为零的是()【答案】DA.x2+x=1B.2x2-x-12=12C.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+22.下列方程:①x2=0,②21x-2=0,③22x+3x=(1+2x)(2+x),④32x-x=0,⑤32xx-8x+1=0中,一元二次方程的个数是()【答案】AA.1个B.2个C.3个D.4个3.把方程(x-5)(x+5)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是()【答案】AA.5x2-4x-4=0B.x2-5=0C.5x2-2x+1=0D.5x2-4x+6=04.方程x2=6x的根是()【答案】BA.x1=0,x2=-6B.x1=0,x2=6C.x=6D.x=05.方2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是()【答案】CA.23162xB.2312416xC.231416xD.以上都不对6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是()【答案】DA.11B.15C.-15D.±157.不解方程判断下列方程中无实数根的是()【答案】BA.-x2=2x-1B.4x2+4x+54=0C.2230xxD.(x+2)(x-3)==-58.方程2(1)5322xx化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.【答案】x2+4x-4=0,49.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有实数解的条件是__________.【答案】240bc10.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.【答案】因式分解法11.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.【答案】1或2312.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根,那么k的最小整数值是__________.【答案】213.如果关于x的方程4mx2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.【答案】1814.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0有两个不相等实数根,则k的取值范围是_______.【答案】115k且k15.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x;(2)3y2+1=23y;(3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)【答案】(1)3,25;(2)33;(3)1,2a-116.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数,而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?【答案】m=-6,n=8北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案:一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)7/817.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.【答案】Δ=2k2+80,∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根.1.下列方程中不一定是一元二次方程的是()【答案】BA.(a-3)x2=8(a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.2332057xx2下列方程中,常数项为零的是()【答案】DA.x2+x=1B.2x2-x-12=12C.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+23.一元二次方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是()【答案】CA.23162xB.2312416xC.231416xD.以上都不对4.关于x的一元二次方程22110axxa
本文标题:北师大版九年级(上)数学第二章一元二次方程教案:一元二次方程概念及其解法讲义(含答案)
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