2018年初中数学联赛试题参考答案和评分标准word版

2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数yx22axa2的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当△ABC为等边三角2形时，其边长为（）A.6．B.22．C.23．D.32．【答】C.由题设知A(a,a2).设B(x,0)，C(x,0)，二次函数的图象的对称轴与x轴的交点为D，则2124a24a2BC|xx2|(xx)24xx22a2.11212a233又ADBC，则||2a2，解得a26或a20（舍去）.222所以，△ABC的边长BC2a22.32．如图，在矩形ABCDBAD的平分线交BD于点EAB1CAE15，则BE）中，，，（321．D.1．A.．B.．C.23AD23【答】D.E延长AE交BC于点F，过点E作BC的垂线，垂足为H.由已知得BAFFADAFBHEF45，BFAB1，BCHFEBHACB30.设BEx，则HFHEx，BH3x.22因为BFBHHF，所以13xx，解得x1.所以BE1.33223．设p,q均为大于3的素数，则使p25pq4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】B.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第1页（共10页）设p25pq4q2m2（m为自然数），则(p2q)2pqm2，即(mp2q)(mp2q)pq.由于p,q为素数，且mp2qp,mp2qq，所以mp2q1，mp2qpq，从而pq2p4q10，即(p4)(q2)9，所以(p,q)(5,11)或(7,5).所以，满足条件的素数对(p,q)的个数为2.4．若实数a,b满足ab2，(1a)2(1b)2554，则ab（）abA.46．B.64．C.82．D.128．【答】C.(1a)2(1b)2由条件4得ab2a22b24aba3b30，ba即(ab)2[(ab)24ab](ab)[(ab)23ab]0，又ab2，所以22[44ab]2[43ab]0，解得ab1.所以a2b2(ab)22ab6，a3b3(ab)[(ab)23ab]14，a5b5(a2b2)(a3b3)a2b2(ab)82.5．对任意的整数x,y，定义x@yxyxy，则使得(x@y)@z(y@z)@x(z@x)@y0的整数组(x,y,z)的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.(x@y)@z(xyxy)@z(xyxy)z(xyxy)zxyzxyyzzxxyz，由对称性，同样可得(y@z)@xxyzxyyzzxxyz，(z@x)@yxyzxyyzzxxyz.所以，由已知可得xyzxyyzzxxyz0，即(x1)(y1)(z1)1.所以，x,y,z为整数时，只能有以下几种情况：x11,x11,x11,x11,1,1,y11,或y11,或y1或y11,11,z11,z11,z1z所以，(x,y,z)(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第2页（共10页）6．设M1111，则1的整数部分是（）2018201920202050MA.60．B.61．C.62．D.63．【答】B.因为M2018133，所以M120183361335.又M(201812019120301)(203112032120501)20301132050120832301345，所以M18323013456111851345，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD中，BC2AB，CEAB于E，F为AD的中点，若AEF48，则B_______．【答】84.AF设BC的中点为G，连结FG交CE于H，由题设条件知FGCD为菱形.D由AB//FG//DC及F为AD的中点，知H为CE的中点.又CEAB，所以CEFG，所以FH垂直平分CE，故EHDFCGFCEFGAEF48.BCG所以BFGC18024884.2．若实数x,y满足x3y31(xy)15，则xy的最大值为．42【答】3.由x3y31(xy)15可得(xy)(x2xyy2)1(xy)15，即4242(xy)(x2xyy21)15.①42令xyk，注意到x2xyy214(x2y)243y2140，故xyk0.又因为x2xyy214(xy)23xy14，故由①式可得k33xyk14k152，所以k31k15xy42.3kk31k15于是，x,y可看作关于t的一元二次方程t2kt420的两根，所以3kk31k152(k)2440，3k化简得k3k300，即(k3)(k23k10)0，所以0k3.故xy的最大值为3.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第3页（共10页）3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为8787618816个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选,十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为88762688个.所以，满足条件的五位数的个数为18816268821504（个）.4．已知实数a,b,c满足abc0222a5b5c5，abc1，则．abc【答】5.2由已知条件可得abbcca1[(abc)2(a2b2c2)]1，a3b3c33abc，所以22a5b5c5(a2b2c2)(a3b3c3)[a2(b3c3)b2(a3c3)c2(a3b3)]3abc[a2b2(ab)a2c2(ac)b2c2(bc)]3abc(a2b2ca2c2bb2c2a)3abcabc(abbcca)3abc12abc52abc.a5b5c55所以abc2.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．满足(x2x1)x21的整数x的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】C.当x20且x2x10时，x2.当x2x11时，x2或x1.当x2x11且x2为偶数时，x0.所以，满足条件的整数x有3个.2．已知x1,x2,x3(x1x2x3)为关于x的方程x33x2(a2)xa0的三个实数根，则4x1x12x22x32（）A.5．B.6．C.7．D.8．2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第4页（共10页）【答】A.方程即(x1)(x22xa)0，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是x21,x1x32，故4xx2x2x2(xx)(xx)4x12(xx)4x12(xx)15.112331311311313．已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CD4CE，EFBFBC，则tanABF（）A.1．B.3．C.2．D.3．2522【答】B.不妨设CD4，则CE1,DE3.设DFx，则AF4x，EFx29.作BHEF于点H.因为EFBFBCAFB，BAF90BHF，BF公共，所以△BAF≌△BHF，所以BHBA4.由S四边形SABFSBEFSDEFSBCE得AFDABCD1111424(4x)4x293x41，2222H8解得x.5E12AF3C所以AF4x5，tanABFAB5.B4．方程339xx的实数根的个数为（）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y9x，则y0，且xy29，原方程变为3y3y29，解得y1或y6，从而可得x8或x27.检验可知：x8是增根，舍去；x27是原方程的实数根.所以，原方程只有1个实数根.5．设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a,b,c)的个数为（）A.4．B.5．C.6．D.7．【答】B.由已知得，a2017bc2018，b2017ac2018，c2017ab2018，两两作差，可得(ab)(12017c)0，(bc)(12017a)0，(ca)(12017b)0.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第5页（共10页）由(ab)(12017c)0，可得ab或c20171.（1）当abc时，有2017a2a20180，解得a1或a2018.2017（2）当abc时，解得ab1，c20181.20172017（3）当ab时，c1，此时有：a1,b20181，或a20181,b1.20172017201720172017故这样的三元数组(a,b,c)共有5个.6．已知实数a,b满足a33a25a1，b33b25b5，则ab（）A.2．B.3．C.4．D.5．【答】A.有已知条件可得(a1)32(a1)2，(b1)32(b1)2，两式相加得(a1)32(a1)(b1)32(b1)0，因式分解得(ab2)[(a1)2(a1)(b1)(b1)22]0.因为(a1)2(a1)(b1)(b1)22[(a1)1(b1)]23(b1)220，24所以ab20，因此ab2.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知p,q,r为素数，且pqr整除pqqrrp1，则pqr_______．【答】10.设kpqqrrp11111，由题意知k是正整数，又p,q,r2，所以k3，从pqrpqrpqr2而k1，即有pqqrrp1pqr，于是可知p,q,r互不相等.当2pqr时，pqrpqqrrp13qr，所以q3，故q2.于是2qrqr2q2r1，故(q2)(r2)3，所以q21,r23，即q3,r5，所以，(p,q,r)(2,3,5).再由p,q,r的对称性知，所有可能的数组(p,q,r)共有6组，即(2,3,5)，(2,5,3)，(3,2,5)，(3,5,2)，(5,2,