错位相减法-(含答案)

1.设等差数列na的前n项和为nS，且244SS,122nnaa(Ⅰ)求数列na的通项公式(Ⅱ)设数列nb满足*121211,2nnnbbbnNaaa，求nb的前n项和nT2.（2012年天津市文13分）已知{na}是等差数列，其前n项和为nS，{nb}是等比数列,且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb.(Ⅰ)求数列{na}与{nb}的通项公式；(Ⅱ)记1122=+++nnnTababab，+nN，证明1+18=nnnTab+(2)nNn，。【答案】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由1a=1=2b，得344423286adbqsd，，。由条件44+=27ab，44=10Sb得方程组332322786210dqdq，解得32dq。∴+312nnnanbnN，，。(Ⅱ)证明：由（1）得，23225282132nnTn①；∴234+12225282132nnTn②；由②－①得，234+1122232323+2332nnnTn+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142=8+3=+8nnnnnnnnnnnnab∴1+18=nnnTab+(2)nNn，。3.（2012年天津市理13分）已知{na}是等差数列，其前n项和为nS，{nb}是等比数列,且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb.(Ⅰ)求数列{na}与{nb}的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++nnnnTababab，+nN，证明:+12=2+10nnnTab+()nN.【答案】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由1a=1=2b，得344423286adbqsd，，。由条件44+=27ab，44=10Sb得方程组332322786210dqdq，解得32dq。∴+312nnnanbnN，，。(Ⅱ)证明：由（1）得，231212222nnnnnTaaaa①；[∴234+112122222nnnnnTaaaa②；由②－①得，234112232112+222+22nnnnnnnnnnTaaaaaaaaaab23423412+232323+2322=2+4+3222+2412=2+4+3=2+412+62=2+4+61212=2+1012nnnnnnnnnnnnnnnnnabababababbab∴+12=2+10nnnTab+()nN。4.（2012年江西省理12分）已知数列{}na的前n项和212nSnkn（其中kN），且nS的最大值为8。（1）确定常数k，并求na；（2）求数列92{}2nna的前n项和nT。【答案】解：（1）当n＝kN时，Sn＝－12n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2，∴k2＝16，∴k＝4。∴1nnnaSS＝92－n(n≥2)。又∵a1＝S1＝72，∴an＝92－n。（2）∵设bn＝9－2an2n＝n2n－1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋22＋322＋…＋n－12n－2＋n2n－1，∴Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋12n－2－n2n－1＝4－12n－2－n2n－1＝4－n＋22n－1。【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n＝kN时，212nSnkn取得最大值，代入可求k，然后利用1nnnaSS可求通项，要注意1nnnaSS不能用来求解首项1a，首项1a一般通过11aS来求解。（2）设bn＝9－2an2n＝n2n－1，可利用错位相减求和即可。5.（2009山东高考）等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的*nN点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）求r的值；（2）当2b时，记*1()4nnnbnNa,求数列{}nb的前n项和nT【解析】因为对任意的nN,点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.所以得nnSbr,当1n时,11aSbr,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,又因为{na}为等比数列,所以1r,公比为b,所以1(1)nnabb（2）当b=2时，11(1)2nnnabb,111114422nnnnnnnba则234123412222nnnT3451212341222222nnnnnT相减,得23451212111112222222nnnnT31211(1)112212212nnn12311422nnn所以113113322222nnnnnnT6.(山东理)设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．（Ⅰ）求数列na的通项；（Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS．（Ⅰ）2112333...3,3nnnaaaa221231133...3(2),3nnnaaaan1113(2).333nnnnan1(2).3nnan验证1n时也满足上式，*1().3nnanN（Ⅱ）3nnbn，232341132333...33132333...3nnnnSnSn231233333nnnSn11332313nnnSn，111333244nnnnS