长沙市2019届高三统考参考答案(文科数学)

数学（文科）参考答案第1页共6页长沙市2019届高三年级统一模拟考试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B2．C3．D4．B5．A6．A7．A【解析】不妨设点P在渐近线yx=上，又00(,)Pxx在圆222yx上，所以01x，12122122PFFS，故选A.8．B【解析】2()4ababab，于是4ab或0ab（舍），2ab时取等，故选B．9．C【解析】由题设知，()fx的周期是6，则57(,2),(,2)22BC，,BPCP的中点都是()fx图象的对称中心，故选C．10．D【解析】CAAOACAOuuruuuruuuruuur,由数量积的几何意义知，32ACAOuuuruuur，故32CAAOuuruuur．故选D．11．C【解析1】因为(1,)(0)Aaa在C上，所以28a，解得22a或22a（舍去），故直线AF的方程为22(2)yx，由222(2),8,yxyx消去y，得2540xx，解得11x，24x，由抛物线的定义，得426BF，所以9ABAFBF．故选C．【解析2】∵直线AB过焦点F，∴212144xxP，又11x，∴24x所以∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=1249xx，故填C．12．A【解析】函数2()()(2)()2gxfxafxa有三个零点，解方程2()(2)()20fxafxa，得()2fx或()fxa．由图象知，方程()2fx有一个实根，所以方程()fxa有两个不等实根，则12a，则(2,1)a，故选A．数学（文科）参考答案第2页共6页二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13．1.【解析】2yax，所以切线的斜率2ka，由已知得12()12a，解得1a.14．32.【解析】由已知可得13cos,sin22，所以3sin22sincos2．15．0,3p纟çúççúèû.【解析】在正方体中，连DA1、DB，则CB1∥DA1，所以∠A1DP为异面直线CP与BA1所成角，点P与B重合，∠A1DP最大，且最大为3p，当点P与A1无限接近时，∠A1DP趋近于零，故异面直线CP与BA1所成角的取值范围是0,3p纟çúççúèû．16．212.【解析】由cossinabCcB及正弦定理得，sinsincossinsinsinsincossinsin，即ABCCBBCBCBC，又sinsincoscossinBCBCBC，于是可得sincosBB，即tan1,45BB．在ABC中，由余弦定理得222cos452acac，即2222acac，又因为222acac，222222acacac，由此可得22222ac，当且仅当ac时等号成立，ABC面积122sin22244SacBac212，故ABC面积S最大值为212．三、解答题：本大题共7个小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）令1n得，1232+0aaa，解得25a．…………1分数学（文科）参考答案第3页共6页OPCAB又由1220nnnaaa知，211212Lnnnnaaaaaa，…………3分故数列na是首项13a，公差2d的等差数列，…………4分于是21nan，…………5分1221nnnba．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nnb．于是121112(12)(222)2212LLnnnnnTbbbnnn．…………9分令1()22nfnn，易知()fn是关于n的单调递增函数，又1011(9)2921031,(10)21022056ff，故使112018Lnbbb成立的最小正整数n的值是10．…………12分18.（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）设AC的中点为O，连接BO，PO．由题意，得[2PAPBPC，1PO，1AOBOCO．因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点，所以POAC．………2分因为在POB中，1PO，1OB，2PB，222POOBPB，所以POOB.………4分因为IACOBO，,ACOB平面ABC，所以PO平面ABC，………6分因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC．…………7分（Ⅱ）三棱锥P-ABC的表面积23222(2)23,4S…………9分由（Ⅰ）知，PO平面ABC，所以三棱锥P-ABC的体积为1111221.3323ABCVSPO…………12分19.（本小题满分12分）【解】（I）由已知，该校有女生400人，故12400208560m，得8m…………2分从而20812848n.…………3分（II）作出列联表如下：超过1小时的人数不超过1小时的人数合计男20828女12820合计3216482248(16096)240.68573.841.2820321635K…………7分数学（文科）参考答案第4页共6页所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.……9分（III）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率322483p，故估计这6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人.……12分20.（本小题满分12分）（I）212AFFF，283AF，得283ba．…………2分又2221=3，ceabca，解得229,8ab，…………4分故所求椭圆C的标准方程为22198xy．…………5分（Ⅱ）由题可知，1l的方程为3x，2l的方程为3x．…………6分直线l与直线1l、2l联立得(3,3)Mkm、(3,3)Nkm，所以1(2,3)uuuurFMkm，1(4,3)uuurFNkm，所以2211=89uuuuruuurgFMFNmk．…………8分联立22198xyykxm得222(98)189720kxkmxm.因为直线l椭圆C相切，所以222(18)4(98)(972)0kmkm，化简得2298mk．…………10分所以2211=890uuuuruuurgFMFNmk，…………11分所以11uuuuruuurFMFN，故1MFN为定值2．…………12分(注：可以先通过0k计算出此时12MFN，再验证一般性)21.（本小题满分12分）【解】（I）222111()(0)axxfxaxxxx.…………1分若0a，则()0fx，()fx在(0,)上单调递增；…………2分若0a，则210axx必有一正一负两根，且正根为1142aa.数学（文科）参考答案第5页共6页当114(0,)2axa，()0fx，()fx在114(0,)2aa上单调递增；当114(,)2axa，()0fx，()fx在114(,)2aa上单调递减.…………4分综上可知，当0a时，()fx在(0,)上单调递增；当0a时，()fx在114(0,)2aa上单调递增，在114(,)2aa上单调递减.…………5分（II）1()ln(1)gxxxaxx，21()ln(0)gxxaxx，所以()gx在(0,)单调递增.…………7分又(1)10ga，1()ln2402ga，故()gx存在零点21(,1)2x，且()gx在区间2(0,)x上单调递减，在区间2(,)x上单调递增，2x即为()gx的极小值点，故21xx.…………9分由1()0gx知，1211ln0xax，所以111111112111111()lnln(ln)(1)lnfxxaxxxxxxxxx，又121(,1)2xx，所以1110()(1)ln0()fxxxfx.由（Ⅰ）可知，0a时，()fx在(0,)单调递增，因此01xx.…………12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程【解】（Ⅰ）由题意可得，直线1l的极坐标方程为()R.…………2分曲线M的普通方程为22(1)(1)1xy，…………3分因为222cos,sin,xyxy，…………4分所以极坐标方程为22(cossin)10.…………5分（Ⅱ）设12(,),(,)AB，且12,均为正数，将代入22cos2sin10，数学（文科）参考答案第6页共6页得22(cossin)10，…………6分当0,4时，228sin()404，所以122(cossin)，…………8分根据极坐标的几何意义，OA，OB分别是点A，B的极径.从而：OAOB122cossin22sin()4.当0,4时，,442，故OAOB的取值范围是2,22.…………10分23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲【解】（Ⅰ）(1)(1)111ffaa，…………1分若1a，则111aa，得21，即1a时恒成立；…………2分若11a，则1(1)1aa，得12a，即112a；………3分若1a，则(1)(1)1aa，得21，此时不等式无解…………4分综上所述，a的取值范围是1(,)2.…………5分（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立，只需maxmin5()4fxyya.…………6分当,xa时，2()fxxax，2max()()24aafxf.…………7分因为5544yyaa，所以当5,4ya时，min555444yyaaa.…………8分于是2544aa，解得15a.…………9分结合0a，所以a的取值范围是0,5.…………10分