2017清华大学4.29标准学术能力测试题

2017清华大学4.29标准学术能力测试题1、129aaa是数字1到9的一个排列，则123456789aaaaaaaaa的最小值为（）A．213B．214C．215D．216【答案】B分析：129,9!aaa三元均值10离散的数靠近之值【解析】设123456789=aaaaaaaaaM则由三元均值33129339!370Maaa39!6!78972078949007070123456789△0★★0★0△△707272214M由题可知981752643727072214另一方面由均值333339!3727072371213M由此，M的最小值为214.2、设100822201601220161xxaaxaxax，则0122016232017aaaa的值是（）A．1008B．1009C．2016D．2017【答案】B分析：12看系数赋值【解析】解法1：两边同乘x，有10082220170120161xxxaxaxax两边求导，得100722016012016100812122017xxxxaaxax令1x，得012016220171009aaa解法2：令1x，可得0120161aaa对题中等式，两边求导，得20152112016220161008(1)aaxaxxx令1x，得112016220161008aaa因此所求值为1009。3、集合1225S，AS，且A的所有子集中元素之和不同，则下列选项正确的有（）A．max6AB．max7AC．若12345Aaaaaa，则51132iiaD．若12345Aaaaaa，则5112iia4、过椭圆22143xy的右焦点2F作一条直线交椭圆于A，B，则1FAB的内切圆面积可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A分析：1FAB△周长C为定值48a，1182ABFSC△焦点弦长公式。焦半径，在12AFF△中21AFF∠121222FFcAFAFc设2AFx，则由余弦定理2222222cosaxxcxc所以2cosbxac由焦点弦2222||sinabABbc。【解析】设直线AB的倾斜角为，则222222||sin3sinablABlC因此1121sin2ABFSABFF△因此，设内切圆半径为r，则1122sin8ABFSABFFC△Γ因此，内切圆面积为22122sin3sin83sinABFFS求得S的范围为50,165、na，nb均为等差数列，已知11135ab，22304ab，33529ab，则下列是nnab中的项的有（）A．810B．1147C．1540D．3672【答案】A,B,C,D【解析】由题可得：222nnabanbnc将112233135,304,529ababab带入得135304529abccabc解得28197304abc；则22228197304nnabnn、n1234567822nnab5298101147154019892494305536726、已知函数tyxx，过10P作切线交函数图象于点M和点N，记MNgt，则下列说法中正确的有（）A．14t时，PMPNB．gt在定义域内单调递增C．12t时，M，N和01共线D．16g【答案】C分析：共求切点弦。引理：切点弦定理22,GxyAxBxyCyPxEyF，过曲线,0Gxy外一点00,Pxy引曲线的切线，切点为12PP，则弦12PP就为点P。关于曲线,0Gxy的切点弦，则对应的直线为,0Gxy。其中000000,222xyxyxxyyGxyAxxBCyyPEF【解析】题中曲线即2:0Hxxyt，由引理知10:102yxMNxt，即:220MNxyt已知MN与H，得220xxtt，得22||1244gtMNtt，即225gttt。当14t时，12554PMPNxx7、已知数列nx，其中1xa，2xb，11nnnxxx（a，b是正整数），若2008为数列中的某一项，则ab可能的取值有（）A．8B．9C．10D．118、投掷一枚均匀的骰子六次，存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（）A．00.25pB．0.250.5pC．0.50.75pD．0.751p9、在ABC中，2AB，3AC，4BC，O为三角形的内心，若AOABBC，则36的值为（）A．1B．2C．3D．410、甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了4次，则第四次球传回甲的概率是（）A．727B．527C．78D．216411、已知椭圆222210xyabab的离心率e的取值范围为1132，直线1yz交椭圆于M和N，且OMON，则椭圆长轴的取值范围是（）A．56B．67C．78D．8912、在直角ABC中，以直角边AB，斜边BC为其中一边分别向三角形所在一侧作正方形ABDE和BCFG，则向量GA和DC的夹角为（）A．45B．60C．90D．12013、正方体1111ABCDABCD的棱长为1，底面中心为O，11AD，1CC的中点分别为M，N，则三棱锥1OMBN的体积为（）A．724B．748C．524D．54814、已知a，b，c为正实数，则代数式938432abcbccaab的最小值为（）A．4748B．1C．3536D．34【答案】A分析：333abcbcbcaaa【解析】设代数式为m，令3,84,32bcxccyabz则111386331216411161612axyzbxyzcxyz。于是61934748921642648yxyzxzmxyzyzx等号当且反当1:2:3xyz即::10:21:1abc时取15、在ABC中，60A，45B，A的角平分线长度为2，CHAB于H，则下列正确的是（）A．3CHB．31ABC．6BCD．3ABCS16、已知实数02x，则下列方程有解的是（）A．coscossinsinxxB．sincoscossinxxC．tantansinsinxxD．tansinsintanxx【答案】C分析：A,B化同名（诱导公式）【解析】对于Acos(cos)sin(cos)sin(sin)2xxx对于Bsin(cos)cos(cos)cos(sin)2xxx对于C令1arctanx，则11tan(tan)sin(sin)0xx令24arctan3x则22tan(tan)sin(sin)310xx对于Dtan(sin)sin(tan)fxxgxx↗作差，tansinsintanhxfxgxxx则322222costancoscoscos(tan)cos(sin)cossincoscossincosxxxxxhxxxxx情况一：当0,arctan2x时，有sin,tan0,2xx，由均值及钦森23cos(tan)2cos(sin)tan2sincos(tan)cos(sin)cos33xxxxxx设函数tan2sin3Pxxxx，求导212cos3cosPxxx因此0xxφφ，即tan2sin3xxx带入00h，即题成立情况二，成立17、已知01x，则下列正确的是（）A．222sinsinsinxxxxxxB．222sinsinsinxxxxxxC．222sinsinsinxxxxxxD．222sinsinsinxxxxxx18、已知1sin2xi，21cosxi，则2121213zixziz的最小值是（）A．12B．2C．43D．3219、在空间中过点A作平面π的垂线，垂足为B，记xBfA，设，是两个不同的平面，对空间中的任意一点P，1QffP，2QffP，且有12PQPQ，则（）A．B．∥C．与的（锐）二面角为45D．与的（锐）二面角为6020、某校共2017名学生，其中每名学生至少要选A，B中的一门课，也有些学生选了两门课，已知选修A的人数占全校人数介于70到75之间，选B的人数占40到45之间，则下列正确的是（）A．同时选A，B的可能有200人B．同时选A，B的可能有300人C．同时选A，B的可能有400人D．同时选A，B的可能有500人21、已知D，E是RtABC斜边BC上的三等分点，设ADa，AEb，则实数对ab可以是（）A．11B．12C．23D．3422、已知函数22fxxx，若存在实数t，当1xm时，有3fxtx恒成立，则实数m可以等于（）A．3B．6C．9D．1223、设Rxy，函数22214672fxyxyxyxy的值域为M，则（）A．1MB．2MC．3MD．4M【答案】C,D分析：拉格朗日【解析】22,276672fxyxyxyy222776672xyyyy2275233xyy24、若N的三个子集A，B，C满足1ABBCCA，且ABC，则称ABC为N的“有序子集列”，现有123456N，则N有（）个有序子集列．A．540B．1280C．3240D．7680