历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

1全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算()ln(1)dd1Dyxyxxyxy____________，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(xf是连续函数，且满足220()3()d2fxxfxx，则()fx____________.3．曲面2222xzy平行平面022zyx的切平面方程是__________.4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________.二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.三、（15分）设函数)(xf连续，10()()gxfxtdt，且Axxfx)(lim0，A为常数，求()gx并讨论)(xg在0x处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、（10分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时，0y，又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,,，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.七、（15分）已知)(xun满足1()()1,2,nxnnuxuxxen，且neun)1(，求函数项级数1)(nnxu之和.八、（10分）求1x时，与02nnx等价的无穷大量.22010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1)nnxaaa，其中||1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex.（3）设0s，求0(1,2,)sxnnIexdxn.（4）设函数()ft有二阶连续导数，221,(,)rxygxyfr，求2222ggxy.（5）求直线10:0xylz与直线2213:421xyzl的距离.二、（15分）设函数()fx在(,)上具有二阶导数，并且()0fx，lim()0xfx，lim()0xfx，且存在一点0x，使得0()0fx.证明：方程()0fx在(,)恰有两个实根.三、（15分）设函数()yfx由参数方程22(1)()xtttyt所确定，且22d3d4(1)yxt，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t.四、（15分）设10,nnnkkaSa，证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散.五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc（其中0cba，密度为1）绕l旋转.（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)的最大值和最小值.3六、(15分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422d()d0Lxyxxyxy的值为常数.（1）设L为正向闭曲线22(2)1xy，证明422d()d0Lxyxxyxy；（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d()dCxyxxyxy.42011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）求11cos0sinlimxxxx；（2）.求111lim...12nnnnn；（3）已知2ln1arctanttxeyte，求22ddyx.二、（本题10分）求方程24d1d0xyxxyy的通解.三、（本题15分）设函数()fx在0x的某邻域内具有二阶连续导数，且0,0,0fff均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,kkk，使得12320230lim0hkfhkfhkfhfh.四、（本题17分）设2221222:1xyzabc，其中0abc，2222:zxy，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（本题16分）已知S是空间曲线22310xyz绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）（取上侧），是S在(,,)Pxyz点处的切平面，(,,)xyz是原点到切平面的距离，,,表示S的正法向的方向余弦.计算：（1）d,,SzSxyz；（2）3dSzxyzS六、（本题12分）设()fx是在(,)内的可微函数，且()()fxmfx，其中01m，任取实数0a，定义1ln(),1,2,...nnafan，证明：11()nnnaa绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间0,2上的连续可微函数()fx，满足(0)(2)1ff，()1fx，20()d1fxx?请说明理由.52012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限21lim(!)nnn.（2）求通过直线2320:55430xyzlxyz的两个互相垂直的平面1和2，使其中一个平面过点(4,3,1).（3）已知函数(,)axbyzuxye，且20uxy.确定常数a和b，使函数(,)zzxy满足方程20zzzzxyxy.（4）设函数()uux连续可微，(2)1u，且3(2)d()dLxyuxxuuy在右半平面与路径无关，求(,)uxy.（5）求极限13sinlimdcosxxxtxttt.二、（本题10分）计算20sindxexx.三、（本题10分）求方程21sin2501xxx的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数()yfx二阶可导，且()0fx，(0)0f，(0)0f，求330()lim()sinxxfufxu，其中u是曲线()yfx上点(,())Pxfx处的切线在x轴上的截距.五、（本题12分）求最小实数C，使得满足10()d1fxx的连续函数()fx都有10()fxdxC.六、（本题12分）设()fx为连续函数，0t.区域是由抛物面22zxy和球面2222xyzt(0)z所围起来的部分.定义三重积分222()()dFtfxyzv，求()Ft的导数()Ft.七、（本题14分）设1nna与1nnb为正项级数，证明：（1）若111lim0nnnnnaabb，则级数1nna收敛；（2）若111lim0nnnnnaabb，且级数1nnb发散，则级数1nna发散.62013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤）1.求极限2lim1sin14nnn.2.证明广义积分0sindxxx不是绝对收敛的.3.设函数()yyx由323322xxyy确定，求()yx的极值.4.过曲线3(0)yxx上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标.二、（满分12分）计算定积分2sinarctand1cosxxxeIxx.三、（满分12分）设fx在0x处存在二阶导数(0)f，且0lim0xfxx.证明：级数11nfn收敛.四、（满分12分）设(),()0()fxfxmaxb，证明2sin()dbafxxm.五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分333dd2dd3ddIxxyzyyzxzzxy.试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值.六、（满分14分）设22dd()()aaCyxxyIrxy，其中a为常数，曲线C为椭圆222xxyyr，取正向.求极限lim()arIr.七、（满分14分）判断级数1111212nnnn的敛散性，若收敛，求其和.72014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知1xye和1xyxe是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.2.设有曲面22:2Szxy和平面022:zyxL.则与L平行的S的切平面方程是.3.设函数()yyx由方程21sind4yxtxt所确定.求0ddxyx.4.设1(1)!nnkkxk，则nnxlim.5.已知130()lim1xxfxxex，则20)(limxxfx.二、（本题12分）设n为正整数，计算21d1coslnddneIxxx.三、（本题14分）设函数()fx在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,AB使得()fxA，|()|fxB.证明：对任意]1,0[x，有22|)('|BAxf.四、（本题14分）（1）设一球缺高为h，所在球半径为R.证明该球缺体积为2)3(3hhR，球冠面积为Rh2；（2）设球体12)1()1()1(222zyx被平面6:zyxP所截的小球缺为，记球缺上的球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分ddddddIxyzyzxzxy.五、（本题15分）设f在],[ba上非负连续，严格单增，且存在],[baxn，使得bannndxxfabxf)]([1)]([.求nnxlim.六、（本题15分）设2222212nnnnAnnnn，求nnAn4lim.82015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sinsinsinlim12nnnnnnnn.（2）设函数,zzxy由方程,0zzFxyyx所决定，其中,Fuv具有连续偏导数，且0uvxFyF则zzxyxy.（3）曲面221zxy在点1,1,3M的切平面与曲面所围区域的体积是.（4）函数3,5,00,0,5xfxx在5,5的傅立叶级数在0x收敛的是.（5）设区间0,上的函数ux定义域为20xtuxedt，则ux的初等函数表达式是.二、（12分）设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.三、（12分）设fx在,ab内二次可导，且存在常数,，使得对于,xab，有fxfxfx，则fx在,ab内无穷次可导.四、（14分）求幂级数30211!nnnxn的收敛域及其和函数.五、（