2.2.2对数函数及其性质教案

第1页共14页2.2.2对数函数及其性质（一）教学目标（一）教学知识点1．对数函数的概念；2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求1．理解对数函数的概念；2．掌握对数函数的图象、性质；3．培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；2．用联系的观点看问题；3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入：1、指对数互化关系：bNNaablog2、)10(aaayx且的图象和性质．a＞10＜a＜1图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601(1)定义域：R第2页共14页性质（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是yx2log.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是xy2log.引出新课--对数函数．二、新授内容：1．对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数，定义域为),0(．学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0aa例1．求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；分析：此题主要利用对数函数xyalog的定义域（0，+∞）求解．解：（1）由2x0得0x,∴函数2logxya的定义域是0|xx；（2）由04x得4x，∴函数)4(logxya的定义域是4|xx；（3）由x-10得x1，∴函数的定义域是,1．2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作xy2log与xy21log的图象：32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801111log)3(7xy11log7xy第3页共14页思考：xy2log与xy21log的图象有什么关系？3，（1）根据对称性（关于x轴对称）已知y=3logx的图像，你能画出y=x31log的图像吗？（2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象，观察图象，找出各函数图象的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质.（1）xy2log（2）xy21log（3）xy3log（4）xy31log4．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．a＞10＜a＜1第4页共14页图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0)1,0(x时0y),1(x时0y)1,0(x时0y),1(x时0y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数三、讲解范例：例2．比较下列各组数中两个值的大小：⑴5.8log,4.3log22；⑵7.2log,8.1log3.03.0；⑶)1,0(9.5log,1.5logaaaa．解：⑴考查对数函数xy2log，因为它的底数21，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log4.3log22．⑵考查对数函数xy3.0log，因为它的底数00.31，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log8.1log3.03.0．小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确定所要考查的对数函数；②根据对数底数判断对数函数增减性；③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．⑶当1a时，xyalog在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log1.5logaa；当10a时，xyalog在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log1.5logaa．小结2：分类讨论的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．四、练习1。（P73、2）求下列函数的定义域：第5页共14页（1）y=3log(1-x)(2)y=x2log1(3)y=x311log7xy3log)4(（5)416(log2xy（6）)3(log1xyx解：（1）由1-x＞0得x＜1∴所求函数定义域为{x|x＜1}；(2)由2logx≠0，得x≠1，又x＞0∴所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}；(3)由31,0310311xxx得∴所求函数定义域为{x|x＜31}；(4)由10,0log03xxxx得∴x≥1∴所求函数定义域为{x|x≥1}.练习2、函数)1,0(2)1(logaaxya的图象恒过定点（）3、已知函数)1,0()1(logaaxya的定义域与值域都是[0，1]，求a的值。（因时间而定，选讲）五、课堂小结⑴对数函数定义、图象、性质；⑵对数的定义，指数式与对数式互换；⑶比较两个数的大小．六、课后作业：1．阅读教材第70～72页；2.《习案》P191～192面。第6页共14页2.2.2对数函数及其性质（二）教学目标1.教学知识点1．对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小；４．对数形式的复合函数的定义域、值域；５．对数形式的复合函数的单调性．2.能力训练要求4．掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；5．掌握对数形式的复合函数的单调性；6．培养学生的数学应用意识．3.德育渗透目标1．用联系的观点分析问题、解决问题；２．认识事物之间的相互转化．教学重点1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；3．求对数形式的复合函数的单调性的方法．教学难点1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．教学过程一、复习引入：1．对数函数的定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数，对数函数xyalog)10(aa且的定义域为),0(，值域为),(．2、对数函数的性质：a＞10＜a＜1第7页共14页图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011性质定义域：（0，+∞）．值域：R．过点（1，0），即当1x时，0y．)1,0(x时0y．),1(x时0y．)1,0(x时0y．),1(x时0y．在（0，+∞）上是增函数．在（0，+∞）上是减函数．3．书P73面练习35．函数y=x+a与xyalog的图象可能是__________二、新授内容：例1．比较下列各组中两个值的大小：⑴6log,7log76；⑵8.0log,log23．（3）6log,7.0,67.067.0解：⑴16log7log66，17log6log77，6log7log76．⑵01loglog33，01log8.0log22，8.0loglog23．小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小．练习：1．比较大小（备用题）11oxy11oxy①②11oxy③y11ox④③第8页共14页⑴3.0log7.0log4.03.0；⑵216.04.3318.0log7.0log；⑶1.0log1.0log2.03.0．例2．已知x=49时，不等式loga(x2–x–2)＞loga(–x2+2x+3)成立，求使此不等式成立的x的取值范围.解：∵x=49使原不等式成立.∴loga[249)49(2]＞loga)3492)49(1[2即loga1613＞loga1639.而1613＜1639.所以y=logax为减函数，故0＜a＜1.∴原不等式可化为322032022222xxxxxxxx，解得2513121xxxx或.故使不等式成立的x的取值范围是)25,2(例3．若函数)10(log)(axxfa在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，求a的值。（42a）例4．求证：函数f(x)=xx1log2在(0,1)上是增函数.解：设0＜x1＜x2＜1，则f(x2)–f(x1)=212221loglog11xxxx21221(1)log(1)xxxx=.11log21122xxxx∵0＜x1＜x2＜1，∴12xx＞1，2111xx＞1.则2112211logxxxx＞0，∴f(x2)＞f(x1).故函数f(x)在(0,1)上是增函数例5．已知f(x)=loga(a–ax)(a＞1).（1）求f(x)的定义域和值域；（2）判证并证明f(x)的单调性.解：（1）由a＞1，a–ax＞0，而a＞ax，则x＜1.故f(x)的定义域为(1,+∞)，而ax＜a，可知0＜a–ax＜a，又a＞1.则loga(a–ax)＜lgaa=1.取f(x)＜1，故函数f(x)的值域为(–∞,1).（2）设x1＞x2＞1，又a＞1，∴1xa＞2xa，∴1xaa＜a＜2xa，∴loga(a–1xa)＜loga(a–2xa)，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(1,+∞)上为减函数.例6．书P72面例9。指导学生看书。第9页共14页例7．（备选题）求下列函数的定义域、值域：⑴)52(log22xxy；⑵)54(log231xxy；解：⑴∵44)1(5222xxx对一切实数都恒成立，∴函数定义域为R．从而24log)52(log222xx即函数值域为),2[．⑵要使函数有意义，则须：5105405422xxxxx，由51x∴在此区间内9)54(max2xx，∴95402xx．从而29log)54(log31231xx即：值域为2y，∴定义域为[-1,5]，值域为),2[．例8．（备选题）已知f(x)=logax(a＞0，a≠1)，当0＜x1＜x2时，试比较)2(21xxf与)]()([2121xfxf的大小，并利用函数图象给予几何解释.【解析】因为12121()[()()]22xxffxfx12121log[loglog]22aaaxxxx=212121212loglog2logxxxxxxxxaaa又0＜x1＜x2，∴x1+x2–222121)(xxxx＞0，即x1+x2＞221xx，∴21212xxxx＞1.于是当a＞1时，21212logxxxxa＞0.此时)2(21xxf＞)]()([2121xfxf同理0＜a＜1时)2(21xxf＜)]()([2121xfxf或：当a＞1时，此时函数y=logax的图象向上凸.显然，P点坐标为)2(21xxf，又A、B两点的中点Q的纵坐标为21[f(x1)+f(x2)]，由几何性质可知)2(21xxf＞)]()([2121xfxf.当0＜a＜1时，函数图象向下凹.从几何角度可知21212logxxxxa＜0，此时)2(21xxf＜)]()([2121xfxf